Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78407 / 59589
↖ ↑ ↗
← N 16.117069°
E 35.351258°		 ← 293.36 m → N 16.117069°
E 35.354004°		 →
↑
293.38 m
↓
↑
293.38 m
↓
N 16.114431°
E 35.351258°		 ← 293.36 m →
86 068 m²		 N 16.114431°
E 35.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598201751708984 y=0.454631805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598201751708984 × 217)
    floor (0.598201751708984 × 131072)
    floor (78407.5)     		tx = 78407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454631805419922 × 217)
    floor (0.454631805419922 × 131072)
    floor (59589.5)     		ty = 59589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78407 / 59589 ti = "17/78407/59589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78407/59589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78407 ÷ 217
    78407 ÷ 131072     		x = 0.598197937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59589 ÷ 217
    59589 ÷ 131072     		y = 0.454627990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598197937011719 × 2 - 1) × π
    0.196395874023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.61699584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454627990722656 × 2 - 1) × π
    0.0907440185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.285080742040474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61699584} λ = 0.61699584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285080742040474))-π/2
    2×atan(1.32986940015563)-π/2
    2×0.926046125855755-π/2
    1.85209225171151-1.57079632675     		φ = 0.28129592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61699584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.351258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28129592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.117069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78407 KachelY 59589 0.61699584 0.28129592 35.351258 16.117069
    Oben rechts KachelX + 1 78408 KachelY 59589 0.61704377 0.28129592 35.354004 16.117069
    Unten links KachelX 78407 KachelY + 1 59590 0.61699584 0.28124987 35.351258 16.114431
    Unten rechts KachelX + 1 78408 KachelY + 1 59590 0.61704377 0.28124987 35.354004 16.114431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28129592-0.28124987) × R
    4.60499999999642e-05 × 6371000     		dl = 293.384549999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28129592-0.28124987) × R
    4.60499999999642e-05 × 6371000     		dr = 293.384549999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61699584-0.61704377) × cos(0.28129592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.960696496596633 × 6371000     		do = 293.360232414815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61699584-0.61704377) × cos(0.28124987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.960709279097931 × 6371000     		du = 293.364135705361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28129592)-sin(0.28124987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960696496596633-0.960709279097931)×R²
    abs(0.61704377-0.61699584)×1.27825012987692e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27825012987692e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27825012987692e-05×40589641000000     		ar = 86067.9323726555m²