Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78400 / 59584
↖ ↑ ↗
← N 16.130262°
E 35.332031°		 ← 293.34 m → N 16.130262°
E 35.334778°		 →
↑
293.38 m
↓
↑
293.38 m
↓
N 16.127623°
E 35.332031°		 ← 293.34 m →
86 062 m²		 N 16.127623°
E 35.334778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598148345947266 y=0.454593658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598148345947266 × 217)
    floor (0.598148345947266 × 131072)
    floor (78400.5)     		tx = 78400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454593658447266 × 217)
    floor (0.454593658447266 × 131072)
    floor (59584.5)     		ty = 59584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78400 / 59584 ti = "17/78400/59584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78400/59584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78400 ÷ 217
    78400 ÷ 131072     		x = 0.59814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59584 ÷ 217
    59584 ÷ 131072     		y = 0.45458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59814453125 × 2 - 1) × π
    0.1962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61666028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    0.0908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.285320426538574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61666028} λ = 0.61666028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285320426538574))-π/2
    2×atan(1.330188187438)-π/2
    2×0.926161254053217-π/2
    1.85232250810643-1.57079632675     		φ = 0.28152618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61666028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28152618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.130262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78400 KachelY 59584 0.61666028 0.28152618 35.332031 16.130262
    Oben rechts KachelX + 1 78401 KachelY 59584 0.61670821 0.28152618 35.334778 16.130262
    Unten links KachelX 78400 KachelY + 1 59585 0.61666028 0.28148013 35.332031 16.127623
    Unten rechts KachelX + 1 78401 KachelY + 1 59585 0.61670821 0.28148013 35.334778 16.127623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28152618-0.28148013) × R
    4.60500000000197e-05 × 6371000     		dl = 293.384550000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28152618-0.28148013) × R
    4.60500000000197e-05 × 6371000     		dr = 293.384550000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61666028-0.61670821) × cos(0.28152618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.96063255075363 × 6371000     		do = 293.340705782386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61666028-0.61670821) × cos(0.28148013) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.960645343441377 × 6371000     		du = 293.344612183486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28152618)-sin(0.28148013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96063255075363-0.960645343441377)×R²
    abs(0.61670821-0.61666028)×1.27926877468987e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27926877468987e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27926877468987e-05×40589641000000     		ar = 86062.2040167347m²