Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7840 / 9915
↖ ↑ ↗
← S 35.371135°
W  7.734375°		 ← 1 992.30 m → S 35.371135°
W  7.712402°		 →
↑
1 992.02 m
↓
↑
1 992.02 m
↓
S 35.389050°
W  7.734375°		 ← 1 991.85 m →
3 968 256 m²		 S 35.389050°
W  7.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478546142578125 y=0.605194091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478546142578125 × 214)
    floor (0.478546142578125 × 16384)
    floor (7840.5)     		tx = 7840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.605194091796875 × 214)
    floor (0.605194091796875 × 16384)
    floor (9915.5)     		ty = 9915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7840 / 9915 ti = "14/7840/9915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7840/9915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7840 ÷ 214
    7840 ÷ 16384     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9915 ÷ 214
    9915 ÷ 16384     		y = 0.60516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60516357421875 × 2 - 1) × π
    -0.2103271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.660762224362854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.660762224362854))-π/2
    2×atan(0.516457527916125)-π/2
    2×0.47672678024747-π/2
    0.953453560494939-1.57079632675     		φ = -0.61734277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61734277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.371135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7840 KachelY 9915 -0.13499031 -0.61734277 -7.734375 -35.371135
    Oben rechts KachelX + 1 7841 KachelY 9915 -0.13460681 -0.61734277 -7.712402 -35.371135
    Unten links KachelX 7840 KachelY + 1 9916 -0.13499031 -0.61765544 -7.734375 -35.389050
    Unten rechts KachelX + 1 7841 KachelY + 1 9916 -0.13460681 -0.61765544 -7.712402 -35.389050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61734277--0.61765544) × R
    0.000312669999999904 × 6371000     		dl = 1992.02056999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61734277--0.61765544) × R
    0.000312669999999904 × 6371000     		dr = 1992.02056999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13460681) × cos(-0.61734277) × R
    0.000383500000000009 × 0.815419525561421 × 6371000     		do = 1992.29699528447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13460681) × cos(-0.61765544) × R
    0.000383500000000009 × 0.81523849028218 × 6371000     		du = 1991.85467567896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61734277)-sin(-0.61765544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.815419525561421-0.81523849028218)×R²
    abs(-0.13460681--0.13499031)×0.00018103527924096×R²
    0.000383500000000009×0.00018103527924096×6371000²
    0.000383500000000009×0.00018103527924096×40589641000000     		ar = 3968256.0736076m²