Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7840 / 3284
↖ ↑ ↗
← N 72.685765°
W  7.734375°		 ← 727.15 m → N 72.685765°
W  7.712402°		 →
↑
727.31 m
↓
↑
727.31 m
↓
N 72.679224°
W  7.734375°		 ← 727.42 m →
528 962 m²		 N 72.679224°
W  7.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478546142578125 y=0.200469970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478546142578125 × 214)
    floor (0.478546142578125 × 16384)
    floor (7840.5)     		tx = 7840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200469970703125 × 214)
    floor (0.200469970703125 × 16384)
    floor (3284.5)     		ty = 3284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7840 / 3284 ti = "14/7840/3284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7840/3284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7840 ÷ 214
    7840 ÷ 16384     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3284 ÷ 214
    3284 ÷ 16384     		y = 0.200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200439453125 × 2 - 1) × π
    0.59912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88219442668188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88219442668188))-π/2
    2×atan(6.56790183889812)-π/2
    2×1.41970112217137-π/2
    2.83940224434273-1.57079632675     		φ = 1.26860592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26860592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.685765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7840 KachelY 3284 -0.13499031 1.26860592 -7.734375 72.685765
    Oben rechts KachelX + 1 7841 KachelY 3284 -0.13460681 1.26860592 -7.712402 72.685765
    Unten links KachelX 7840 KachelY + 1 3285 -0.13499031 1.26849176 -7.734375 72.679224
    Unten rechts KachelX + 1 7841 KachelY + 1 3285 -0.13460681 1.26849176 -7.712402 72.679224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26860592-1.26849176) × R
    0.000114159999999863 × 6371000     		dl = 727.313359999129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26860592-1.26849176) × R
    0.000114159999999863 × 6371000     		dr = 727.313359999129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13460681) × cos(1.26860592) × R
    0.000383500000000009 × 0.297612071589966 × 6371000     		do = 727.149175856241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13460681) × cos(1.26849176) × R
    0.000383500000000009 × 0.297721056705591 × 6371000     		du = 727.415456846068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26860592)-sin(1.26849176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297612071589966-0.297721056705591)×R²
    abs(-0.13460681--0.13499031)×0.000108985115625071×R²
    0.000383500000000009×0.000108985115625071×6371000²
    0.000383500000000009×0.000108985115625071×40589641000000     		ar = 528962.145748351m²