Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 784 / 908
↖ ↑ ↗
← N 19.973349°
W 42.187500°		 ← 18.370 km → N 19.973349°
W 42.011719°		 →
↑
18.380 km
↓
↑
18.380 km
↓
N 19.808054°
W 42.187500°		 ← 18.389 km →
337.822 km²		 N 19.808054°
W 42.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383056640625 y=0.443603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383056640625 × 211)
    floor (0.383056640625 × 2048)
    floor (784.5)     		tx = 784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443603515625 × 211)
    floor (0.443603515625 × 2048)
    floor (908.5)     		ty = 908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 784 / 908 ti = "11/784/908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/784/908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 784 ÷ 211
    784 ÷ 2048     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 908 ÷ 211
    908 ÷ 2048     		y = 0.443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443359375 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.355883542779297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355883542779297))-π/2
    2×atan(1.42744130273695)-π/2
    2×0.95969851287609-π/2
    1.91939702575218-1.57079632675     		φ = 0.34860070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34860070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.973349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 784 KachelY 908 -0.73631078 0.34860070 -42.187500 19.973349
    Oben rechts KachelX + 1 785 KachelY 908 -0.73324282 0.34860070 -42.011719 19.973349
    Unten links KachelX 784 KachelY + 1 909 -0.73631078 0.34571576 -42.187500 19.808054
    Unten rechts KachelX + 1 785 KachelY + 1 909 -0.73324282 0.34571576 -42.011719 19.808054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34860070-0.34571576) × R
    0.00288494 × 6371000     		dl = 18379.95274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34860070-0.34571576) × R
    0.00288494 × 6371000     		dr = 18379.95274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73324282) × cos(0.34860070) × R
    0.00306796000000009 × 0.939851609928014 × 6371000     		do = 18370.3143420363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73324282) × cos(0.34571576) × R
    0.00306796000000009 × 0.940833143911184 × 6371000     		du = 18389.499378927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34860070)-sin(0.34571576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939851609928014-0.940833143911184)×R²
    abs(-0.73324282--0.73631078)×0.000981533983169691×R²
    0.00306796000000009×0.000981533983169691×6371000²
    0.00306796000000009×0.000981533983169691×40589641000000     		ar = 337822053.765621m²