Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 784 / 791
↖ ↑ ↗
← S 69.534518°
E 95.625000°		 ← 13.668 km → S 69.534518°
E 95.976562°		 →
↑
13.629 km
↓
↑
13.629 km
↓
S 69.657086°
E 95.625000°		 ← 13.590 km →
185.750 km²		 S 69.657086°
E 95.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76611328125 y=0.77294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76611328125 × 210)
    floor (0.76611328125 × 1024)
    floor (784.5)     		tx = 784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77294921875 × 210)
    floor (0.77294921875 × 1024)
    floor (791.5)     		ty = 791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 784 / 791 ti = "10/784/791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/784/791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 784 ÷ 210
    784 ÷ 1024     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 791 ÷ 210
    791 ÷ 1024     		y = 0.7724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71192255923145))-π/2
    2×atan(0.18051840146491)-π/2
    2×0.178595025184392-π/2
    0.357190050368785-1.57079632675     		φ = -1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 784 KachelY 791 1.66897110 -1.21360628 95.625000 -69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 785 KachelY 791 1.67510702 -1.21360628 95.976562 -69.534518
    Unten links KachelX 784 KachelY + 1 792 1.66897110 -1.21574550 95.625000 -69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 785 KachelY + 1 792 1.67510702 -1.21574550 95.976562 -69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21360628--1.21574550) × R
    0.00213921999999989 × 6371000     		dl = 13628.9706199993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21360628--1.21574550) × R
    0.00213921999999989 × 6371000     		dr = 13628.9706199993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.67510702) × cos(-1.21360628) × R
    0.00613591999999996 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 13668.2261575674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.67510702) × cos(-1.21574550) × R
    0.00613591999999996 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 13589.8469085972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21360628)-sin(-1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.347638022352561)×R²
    abs(1.67510702-1.66897110)×0.00200499735491794×R²
    0.00613591999999996×0.00200499735491794×6371000²
    0.00613591999999996×0.00200499735491794×40589641000000     		ar = 185749809.324922m²