Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78393 / 60261
↖ ↑ ↗
← N 14.336243°
E 35.312805°		 ← 295.91 m → N 14.336243°
E 35.315552°		 →
↑
295.87 m
↓
↑
295.87 m
↓
N 14.333582°
E 35.312805°		 ← 295.92 m →
87 553 m²		 N 14.333582°
E 35.315552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598094940185547 y=0.459758758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598094940185547 × 217)
    floor (0.598094940185547 × 131072)
    floor (78393.5)     		tx = 78393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459758758544922 × 217)
    floor (0.459758758544922 × 131072)
    floor (60261.5)     		ty = 60261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78393 / 60261 ti = "17/78393/60261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78393/60261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78393 ÷ 217
    78393 ÷ 131072     		x = 0.598091125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60261 ÷ 217
    60261 ÷ 131072     		y = 0.459754943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598091125488281 × 2 - 1) × π
    0.196182250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.61632472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459754943847656 × 2 - 1) × π
    0.0804901123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.252867145495796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61632472} λ = 0.61632472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.252867145495796))-π/2
    2×atan(1.28771218710569)-π/2
    2×0.910505484529025-π/2
    1.82101096905805-1.57079632675     		φ = 0.25021464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61632472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.312805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25021464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.336243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78393 KachelY 60261 0.61632472 0.25021464 35.312805 14.336243
    Oben rechts KachelX + 1 78394 KachelY 60261 0.61637266 0.25021464 35.315552 14.336243
    Unten links KachelX 78393 KachelY + 1 60262 0.61632472 0.25016820 35.312805 14.333582
    Unten rechts KachelX + 1 78394 KachelY + 1 60262 0.61637266 0.25016820 35.315552 14.333582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25021464-0.25016820) × R
    4.64399999999809e-05 × 6371000     		dl = 295.869239999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25021464-0.25016820) × R
    4.64399999999809e-05 × 6371000     		dr = 295.869239999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61632472-0.61637266) × cos(0.25021464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968859296606181 × 6371000     		do = 295.914567621628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61632472-0.61637266) × cos(0.25016820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968870794659027 × 6371000     		du = 295.918079422927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25021464)-sin(0.25016820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968859296606181-0.968870794659027)×R²
    abs(0.61637266-0.61632472)×1.14980528466146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14980528466146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14980528466146e-05×40589641000000     		ar = 87552.5377598084m²