Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7839 / 8737
↖ ↑ ↗
← N 78.594213°
W136.939087°		 ← 120.79 m → N 78.594213°
W136.933594°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
N 78.593127°
W136.939087°		 ← 120.80 m →
14 591 m²		 N 78.593127°
W136.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119621276855469 y=0.133323669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119621276855469 × 216)
    floor (0.119621276855469 × 65536)
    floor (7839.5)     		tx = 7839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133323669433594 × 216)
    floor (0.133323669433594 × 65536)
    floor (8737.5)     		ty = 8737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7839 / 8737 ti = "16/7839/8737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7839/8737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7839 ÷ 216
    7839 ÷ 65536     		x = 0.119613647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8737 ÷ 216
    8737 ÷ 65536     		y = 0.133316040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119613647460938 × 2 - 1) × π
    -0.760772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39003794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133316040039062 × 2 - 1) × π
    0.733367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30394326953914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39003794} λ = -2.39003794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30394326953914))-π/2
    2×atan(10.0135909928456)-π/2
    2×1.47126205775639-π/2
    2.94252411551278-1.57079632675     		φ = 1.37172779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39003794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.939087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37172779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.594213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7839 KachelY 8737 -2.39003794 1.37172779 -136.939087 78.594213
    Oben rechts KachelX + 1 7840 KachelY 8737 -2.38994207 1.37172779 -136.933594 78.594213
    Unten links KachelX 7839 KachelY + 1 8738 -2.39003794 1.37170883 -136.939087 78.593127
    Unten rechts KachelX + 1 7840 KachelY + 1 8738 -2.38994207 1.37170883 -136.933594 78.593127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37172779-1.37170883) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37172779-1.37170883) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39003794--2.38994207) × cos(1.37172779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197756348786155 × 6371000     		do = 120.787159278435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39003794--2.38994207) × cos(1.37170883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197774934313471 × 6371000     		du = 120.798511091219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37172779)-sin(1.37170883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197756348786155-0.197774934313471)×R²
    abs(-2.38994207--2.39003794)×1.85855273164004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85855273164004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85855273164004e-05×40589641000000     		ar = 14591.0690606583m²