Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78380 / 61224
↖ ↑ ↗
← N 11.759815°
E 35.277100°		 ← 299.02 m → N 11.759815°
E 35.279846°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.757125°
E 35.277100°		 ← 299.02 m →
89 422 m²		 N 11.757125°
E 35.279846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597995758056641 y=0.467105865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597995758056641 × 217)
    floor (0.597995758056641 × 131072)
    floor (78380.5)     		tx = 78380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467105865478516 × 217)
    floor (0.467105865478516 × 131072)
    floor (61224.5)     		ty = 61224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78380 / 61224 ti = "17/78380/61224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78380/61224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78380 ÷ 217
    78380 ÷ 131072     		x = 0.597991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61224 ÷ 217
    61224 ÷ 131072     		y = 0.46710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597991943359375 × 2 - 1) × π
    0.19598388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61570154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46710205078125 × 2 - 1) × π
    0.0657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.206703911161682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61570154} λ = 0.61570154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206703911161682))-π/2
    2×atan(1.22961844158003)-π/2
    2×0.888021906141235-π/2
    1.77604381228247-1.57079632675     		φ = 0.20524749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61570154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.277100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20524749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.759815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78380 KachelY 61224 0.61570154 0.20524749 35.277100 11.759815
    Oben rechts KachelX + 1 78381 KachelY 61224 0.61574948 0.20524749 35.279846 11.759815
    Unten links KachelX 78380 KachelY + 1 61225 0.61570154 0.20520055 35.277100 11.757125
    Unten rechts KachelX + 1 78381 KachelY + 1 61225 0.61574948 0.20520055 35.279846 11.757125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20524749-0.20520055) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20524749-0.20520055) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61570154-0.61574948) × cos(0.20524749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979010573699236 × 6371000     		do = 299.015028939717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61570154-0.61574948) × cos(0.20520055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979020139436795 × 6371000     		du = 299.01795056219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20524749)-sin(0.20520055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979010573699236-0.979020139436795)×R²
    abs(0.61574948-0.61570154)×9.5657375598357e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.5657375598357e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.5657375598357e-06×40589641000000     		ar = 89422.2986145728m²