Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7838 / 3286
↖ ↑ ↗
← N 72.672682°
W  7.778320°		 ← 727.68 m → N 72.672682°
W  7.756347°		 →
↑
727.82 m
↓
↑
727.82 m
↓
N 72.666136°
W  7.778320°		 ← 727.95 m →
529 721 m²		 N 72.666136°
W  7.756347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478424072265625 y=0.200592041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478424072265625 × 214)
    floor (0.478424072265625 × 16384)
    floor (7838.5)     		tx = 7838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200592041015625 × 214)
    floor (0.200592041015625 × 16384)
    floor (3286.5)     		ty = 3286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7838 / 3286 ti = "14/7838/3286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7838/3286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7838 ÷ 214
    7838 ÷ 16384     		x = 0.4783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3286 ÷ 214
    3286 ÷ 16384     		y = 0.2005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2005615234375 × 2 - 1) × π
    0.598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.88142743628796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13575730} λ = -0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88142743628796))-π/2
    2×atan(6.56286625264947)-π/2
    2×1.41958694757519-π/2
    2.83917389515038-1.57079632675     		φ = 1.26837757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26837757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.672682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7838 KachelY 3286 -0.13575730 1.26837757 -7.778320 72.672682
    Oben rechts KachelX + 1 7839 KachelY 3286 -0.13537380 1.26837757 -7.756347 72.672682
    Unten links KachelX 7838 KachelY + 1 3287 -0.13575730 1.26826333 -7.778320 72.666136
    Unten rechts KachelX + 1 7839 KachelY + 1 3287 -0.13537380 1.26826333 -7.756347 72.666136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26837757-1.26826333) × R
    0.000114240000000043 × 6371000     		dl = 727.823040000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26837757-1.26826333) × R
    0.000114240000000043 × 6371000     		dr = 727.823040000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13575730--0.13537380) × cos(1.26837757) × R
    0.000383500000000009 × 0.297830066579732 × 6371000     		do = 727.681798327845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13575730--0.13537380) × cos(1.26826333) × R
    0.000383500000000009 × 0.297939120299605 × 6371000     		du = 727.948246936955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26837757)-sin(1.26826333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297830066579732-0.297939120299605)×R²
    abs(-0.13537380--0.13575730)×0.000109053719872854×R²
    0.000383500000000009×0.000109053719872854×6371000²
    0.000383500000000009×0.000109053719872854×40589641000000     		ar = 529720.542906526m²