Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78378 / 61226
↖ ↑ ↗
← N 11.754437°
E 35.271606°		 ← 299.02 m → N 11.754437°
E 35.274353°		 →
↑
298.99 m
↓
↑
298.99 m
↓
N 11.751748°
E 35.271606°		 ← 299.02 m →
89 405 m²		 N 11.751748°
E 35.274353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597980499267578 y=0.467121124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597980499267578 × 217)
    floor (0.597980499267578 × 131072)
    floor (78378.5)     		tx = 78378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467121124267578 × 217)
    floor (0.467121124267578 × 131072)
    floor (61226.5)     		ty = 61226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78378 / 61226 ti = "17/78378/61226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78378/61226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78378 ÷ 217
    78378 ÷ 131072     		x = 0.597976684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61226 ÷ 217
    61226 ÷ 131072     		y = 0.467117309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597976684570312 × 2 - 1) × π
    0.195953369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61560566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467117309570312 × 2 - 1) × π
    0.065765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.206608037362442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61560566} λ = 0.61560566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206608037362442))-π/2
    2×atan(1.22950055903943)-π/2
    2×0.887974974951145-π/2
    1.77594994990229-1.57079632675     		φ = 0.20515362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61560566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.271606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20515362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.754437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78378 KachelY 61226 0.61560566 0.20515362 35.271606 11.754437
    Oben rechts KachelX + 1 78379 KachelY 61226 0.61565360 0.20515362 35.274353 11.754437
    Unten links KachelX 78378 KachelY + 1 61227 0.61560566 0.20510669 35.271606 11.751748
    Unten rechts KachelX + 1 78379 KachelY + 1 61227 0.61565360 0.20510669 35.274353 11.751748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20515362-0.20510669) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dl = 298.991030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20515362-0.20510669) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dr = 298.991030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61560566-0.61565360) × cos(0.20515362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979029700980042 × 6371000     		do = 299.020870903612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61560566-0.61565360) × cos(0.20510669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97903926036705 × 6371000     		du = 299.023790586463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20515362)-sin(0.20510669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979029700980042-0.97903926036705)×R²
    abs(0.61565360-0.61560566)×9.55938700752945e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.55938700752945e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.55938700752945e-06×40589641000000     		ar = 89404.9946788281m²