Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78373 / 61221
↖ ↑ ↗
← N 11.767882°
E 35.257874°		 ← 299.01 m → N 11.767882°
E 35.260620°		 →
↑
298.99 m
↓
↑
298.99 m
↓
N 11.765193°
E 35.257874°		 ← 299.01 m →
89 401 m²		 N 11.765193°
E 35.260620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597942352294922 y=0.467082977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597942352294922 × 217)
    floor (0.597942352294922 × 131072)
    floor (78373.5)     		tx = 78373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467082977294922 × 217)
    floor (0.467082977294922 × 131072)
    floor (61221.5)     		ty = 61221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78373 / 61221 ti = "17/78373/61221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78373/61221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78373 ÷ 217
    78373 ÷ 131072     		x = 0.597938537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61221 ÷ 217
    61221 ÷ 131072     		y = 0.467079162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597938537597656 × 2 - 1) × π
    0.195877075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.61536598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467079162597656 × 2 - 1) × π
    0.0658416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.206847721860542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61536598} λ = 0.61536598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206847721860542))-π/2
    2×atan(1.22979528658324)-π/2
    2×0.888092301206822-π/2
    1.77618460241364-1.57079632675     		φ = 0.20538828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61536598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.257874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20538828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.767882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78373 KachelY 61221 0.61536598 0.20538828 35.257874 11.767882
    Oben rechts KachelX + 1 78374 KachelY 61221 0.61541392 0.20538828 35.260620 11.767882
    Unten links KachelX 78373 KachelY + 1 61222 0.61536598 0.20534135 35.257874 11.765193
    Unten rechts KachelX + 1 78374 KachelY + 1 61222 0.61541392 0.20534135 35.260620 11.765193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20538828-0.20534135) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dl = 298.991030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20538828-0.20534135) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dr = 298.991030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61536598-0.61541392) × cos(0.20538828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978981869662362 × 6371000     		do = 299.006261988014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61536598-0.61541392) × cos(0.20534135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978991439830815 × 6371000     		du = 299.009184963796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20538828)-sin(0.20534135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978981869662362-0.978991439830815)×R²
    abs(0.61541392-0.61536598)×9.57016845326564e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.57016845326564e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.57016845326564e-06×40589641000000     		ar = 89400.6272363925m²