Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7837 / 9375
↖ ↑ ↗
← S 25.145285°
W  7.800293°		 ← 2 211.68 m → S 25.145285°
W  7.778320°		 →
↑
2 211.50 m
↓
↑
2 211.50 m
↓
S 25.165173°
W  7.800293°		 ← 2 211.32 m →
4 890 733 m²		 S 25.165173°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478363037109375 y=0.572235107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478363037109375 × 214)
    floor (0.478363037109375 × 16384)
    floor (7837.5)     		tx = 7837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572235107421875 × 214)
    floor (0.572235107421875 × 16384)
    floor (9375.5)     		ty = 9375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7837 / 9375 ti = "14/7837/9375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7837/9375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7837 ÷ 214
    7837 ÷ 16384     		x = 0.47833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9375 ÷ 214
    9375 ÷ 16384     		y = 0.57220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.453674818004211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13614079} λ = -0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453674818004211))-π/2
    2×atan(0.635289284298137)-π/2
    2×0.56596415949956-π/2
    1.13192831899912-1.57079632675     		φ = -0.43886801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43886801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.145285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7837 KachelY 9375 -0.13614079 -0.43886801 -7.800293 -25.145285
    Oben rechts KachelX + 1 7838 KachelY 9375 -0.13575730 -0.43886801 -7.778320 -25.145285
    Unten links KachelX 7837 KachelY + 1 9376 -0.13614079 -0.43921513 -7.800293 -25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 7838 KachelY + 1 9376 -0.13575730 -0.43921513 -7.778320 -25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43886801--0.43921513) × R
    0.000347120000000034 × 6371000     		dl = 2211.50152000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43886801--0.43921513) × R
    0.000347120000000034 × 6371000     		dr = 2211.50152000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13614079--0.13575730) × cos(-0.43886801) × R
    0.000383490000000014 × 0.905233242657106 × 6371000     		do = 2211.67924685958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13614079--0.13575730) × cos(-0.43921513) × R
    0.000383490000000014 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 2211.31874798497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43886801)-sin(-0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905233242657106-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.13575730--0.13614079)×0.00014755103648012×R²
    0.000383490000000014×0.00014755103648012×6371000²
    0.000383490000000014×0.00014755103648012×40589641000000     		ar = 4890733.44338635m²