Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7837 / 4266
↖ ↑ ↗
← N 64.979359°
W  7.800293°		 ← 1 033.34 m → N 64.979359°
W  7.778320°		 →
↑
1 033.50 m
↓
↑
1 033.50 m
↓
N 64.970064°
W  7.800293°		 ← 1 033.70 m →
1 068 151 m²		 N 64.970064°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478363037109375 y=0.260406494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478363037109375 × 214)
    floor (0.478363037109375 × 16384)
    floor (7837.5)     		tx = 7837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260406494140625 × 214)
    floor (0.260406494140625 × 16384)
    floor (4266.5)     		ty = 4266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7837 / 4266 ti = "14/7837/4266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7837/4266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7837 ÷ 214
    7837 ÷ 16384     		x = 0.47833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4266 ÷ 214
    4266 ÷ 16384     		y = 0.2603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2603759765625 × 2 - 1) × π
    0.479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50560214326672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13614079} λ = -0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50560214326672))-π/2
    2×atan(4.50686659278333)-π/2
    2×1.35245004550057-π/2
    2.70490009100114-1.57079632675     		φ = 1.13410376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13410376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.979359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7837 KachelY 4266 -0.13614079 1.13410376 -7.800293 64.979359
    Oben rechts KachelX + 1 7838 KachelY 4266 -0.13575730 1.13410376 -7.778320 64.979359
    Unten links KachelX 7837 KachelY + 1 4267 -0.13614079 1.13394154 -7.800293 64.970064
    Unten rechts KachelX + 1 7838 KachelY + 1 4267 -0.13575730 1.13394154 -7.778320 64.970064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13410376-1.13394154) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dl = 1033.50361999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13410376-1.13394154) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dr = 1033.50361999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13614079--0.13575730) × cos(1.13410376) × R
    0.000383490000000014 × 0.422944735130256 × 6371000     		do = 1033.34483222291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13614079--0.13575730) × cos(1.13394154) × R
    0.000383490000000014 × 0.423091726106352 × 6371000     		du = 1033.70396274971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13410376)-sin(1.13394154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422944735130256-0.423091726106352)×R²
    abs(-0.13575730--0.13614079)×0.000146990976095718×R²
    0.000383490000000014×0.000146990976095718×6371000²
    0.000383490000000014×0.000146990976095718×40589641000000     		ar = 1068151.20850204m²