Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7837 / 3287
↖ ↑ ↗
← N 72.666136°
W  7.800293°		 ← 727.93 m → N 72.666136°
W  7.778320°		 →
↑
728.08 m
↓
↑
728.08 m
↓
N 72.659588°
W  7.800293°		 ← 728.20 m →
530 086 m²		 N 72.659588°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478363037109375 y=0.200653076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478363037109375 × 214)
    floor (0.478363037109375 × 16384)
    floor (7837.5)     		tx = 7837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200653076171875 × 214)
    floor (0.200653076171875 × 16384)
    floor (3287.5)     		ty = 3287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7837 / 3287 ti = "14/7837/3287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7837/3287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7837 ÷ 214
    7837 ÷ 16384     		x = 0.47833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3287 ÷ 214
    3287 ÷ 16384     		y = 0.20062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20062255859375 × 2 - 1) × π
    0.5987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.881043941091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13614079} λ = -0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.881043941091))-π/2
    2×atan(6.56034990749726)-π/2
    2×1.4195298289203-π/2
    2.83905965784059-1.57079632675     		φ = 1.26826333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26826333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.666136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7837 KachelY 3287 -0.13614079 1.26826333 -7.800293 72.666136
    Oben rechts KachelX + 1 7838 KachelY 3287 -0.13575730 1.26826333 -7.778320 72.666136
    Unten links KachelX 7837 KachelY + 1 3288 -0.13614079 1.26814905 -7.800293 72.659588
    Unten rechts KachelX + 1 7838 KachelY + 1 3288 -0.13575730 1.26814905 -7.778320 72.659588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26826333-1.26814905) × R
    0.0001142799999998 × 6371000     		dl = 728.077879998726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26826333-1.26814905) × R
    0.0001142799999998 × 6371000     		dr = 728.077879998726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13614079--0.13575730) × cos(1.26826333) × R
    0.000383490000000014 × 0.297939120299605 × 6371000     		do = 727.929265235611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13614079--0.13575730) × cos(1.26814905) × R
    0.000383490000000014 × 0.298048208313173 × 6371000     		du = 728.195790683773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26826333)-sin(1.26814905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297939120299605-0.298048208313173)×R²
    abs(-0.13575730--0.13614079)×0.000109088013568459×R²
    0.000383490000000014×0.000109088013568459×6371000²
    0.000383490000000014×0.000109088013568459×40589641000000     		ar = 530086.2224403m²