Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7836 / 8345
↖ ↑ ↗
← N 79.012293°
W136.955566°		 ← 116.42 m → N 79.012293°
W136.950073°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
N 79.011247°
W136.955566°		 ← 116.43 m →
13 551 m²		 N 79.011247°
W136.950073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119575500488281 y=0.127342224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119575500488281 × 216)
    floor (0.119575500488281 × 65536)
    floor (7836.5)     		tx = 7836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127342224121094 × 216)
    floor (0.127342224121094 × 65536)
    floor (8345.5)     		ty = 8345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7836 / 8345 ti = "16/7836/8345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7836/8345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7836 ÷ 216
    7836 ÷ 65536     		x = 0.11956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8345 ÷ 216
    8345 ÷ 65536     		y = 0.127334594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11956787109375 × 2 - 1) × π
    -0.7608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39032556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127334594726562 × 2 - 1) × π
    0.745330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34152579884126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39032556} λ = -2.39032556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34152579884126))-π/2
    2×atan(10.3970883316802)-π/2
    2×1.47491049888377-π/2
    2.94982099776753-1.57079632675     		φ = 1.37902467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39032556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.955566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37902467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.012293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7836 KachelY 8345 -2.39032556 1.37902467 -136.955566 79.012293
    Oben rechts KachelX + 1 7837 KachelY 8345 -2.39022969 1.37902467 -136.950073 79.012293
    Unten links KachelX 7836 KachelY + 1 8346 -2.39032556 1.37900640 -136.955566 79.011247
    Unten rechts KachelX + 1 7837 KachelY + 1 8346 -2.39022969 1.37900640 -136.950073 79.011247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37902467-1.37900640) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37902467-1.37900640) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39032556--2.39022969) × cos(1.37902467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190598372150107 × 6371000     		do = 116.415154691192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39032556--2.39022969) × cos(1.37900640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190616307194502 × 6371000     		du = 116.426109196962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37902467)-sin(1.37900640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190598372150107-0.190616307194502)×R²
    abs(-2.39022969--2.39032556)×1.79350443941795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79350443941795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79350443941795e-05×40589641000000     		ar = 13551.1485085687m²