Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7836 / 4929
↖ ↑ ↗
← N 58.066256°
W  7.822266°		 ← 1 292.34 m → N 58.066256°
W  7.800293°		 →
↑
1 292.55 m
↓
↑
1 292.55 m
↓
N 58.054632°
W  7.822266°		 ← 1 292.76 m →
1 670 688 m²		 N 58.054632°
W  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478302001953125 y=0.300872802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478302001953125 × 214)
    floor (0.478302001953125 × 16384)
    floor (7836.5)     		tx = 7836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300872802734375 × 214)
    floor (0.300872802734375 × 16384)
    floor (4929.5)     		ty = 4929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7836 / 4929 ti = "14/7836/4929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7836/4929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7836 ÷ 214
    7836 ÷ 16384     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4929 ÷ 214
    4929 ÷ 16384     		y = 0.30084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30084228515625 × 2 - 1) × π
    0.3983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25134482768195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25134482768195))-π/2
    2×atan(3.4950400249558)-π/2
    2×1.29212183897413-π/2
    2.58424367794826-1.57079632675     		φ = 1.01344735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01344735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.066256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7836 KachelY 4929 -0.13652429 1.01344735 -7.822266 58.066256
    Oben rechts KachelX + 1 7837 KachelY 4929 -0.13614079 1.01344735 -7.800293 58.066256
    Unten links KachelX 7836 KachelY + 1 4930 -0.13652429 1.01324447 -7.822266 58.054632
    Unten rechts KachelX + 1 7837 KachelY + 1 4930 -0.13614079 1.01324447 -7.800293 58.054632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01344735-1.01324447) × R
    0.000202880000000016 × 6371000     		dl = 1292.5484800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01344735-1.01324447) × R
    0.000202880000000016 × 6371000     		dr = 1292.5484800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13614079) × cos(1.01344735) × R
    0.000383499999999981 × 0.528938241024808 × 6371000     		do = 1292.34343212367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13614079) × cos(1.01324447) × R
    0.000383499999999981 × 0.529110406343535 × 6371000     		du = 1292.76407994536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01344735)-sin(1.01324447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528938241024808-0.529110406343535)×R²
    abs(-0.13614079--0.13652429)×0.000172165318727102×R²
    0.000383499999999981×0.000172165318727102×6371000²
    0.000383499999999981×0.000172165318727102×40589641000000     		ar = 1670688.3984107m²