Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7836 / 4925
↖ ↑ ↗
← N 58.112714°
W  7.822266°		 ← 1 290.66 m → N 58.112714°
W  7.800293°		 →
↑
1 290.83 m
↓
↑
1 290.83 m
↓
N 58.101106°
W  7.822266°		 ← 1 291.08 m →
1 666 294 m²		 N 58.101106°
W  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478302001953125 y=0.300628662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478302001953125 × 214)
    floor (0.478302001953125 × 16384)
    floor (7836.5)     		tx = 7836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300628662109375 × 214)
    floor (0.300628662109375 × 16384)
    floor (4925.5)     		ty = 4925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7836 / 4925 ti = "14/7836/4925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7836/4925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7836 ÷ 214
    7836 ÷ 16384     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4925 ÷ 214
    4925 ÷ 16384     		y = 0.30059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30059814453125 × 2 - 1) × π
    0.3988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25287880846979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25287880846979))-π/2
    2×atan(3.50040546339445)-π/2
    2×1.29252726552355-π/2
    2.5850545310471-1.57079632675     		φ = 1.01425820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01425820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.112714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7836 KachelY 4925 -0.13652429 1.01425820 -7.822266 58.112714
    Oben rechts KachelX + 1 7837 KachelY 4925 -0.13614079 1.01425820 -7.800293 58.112714
    Unten links KachelX 7836 KachelY + 1 4926 -0.13652429 1.01405559 -7.822266 58.101106
    Unten rechts KachelX + 1 7837 KachelY + 1 4926 -0.13614079 1.01405559 -7.800293 58.101106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01425820-1.01405559) × R
    0.000202610000000103 × 6371000     		dl = 1290.82831000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01425820-1.01405559) × R
    0.000202610000000103 × 6371000     		dr = 1290.82831000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13614079) × cos(1.01425820) × R
    0.000383499999999981 × 0.528249930997942 × 6371000     		do = 1290.66169903369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13614079) × cos(1.01405559) × R
    0.000383499999999981 × 0.528421954062251 × 6371000     		du = 1291.08199928822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01425820)-sin(1.01405559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528249930997942-0.528421954062251)×R²
    abs(-0.13614079--0.13652429)×0.000172023064308746×R²
    0.000383499999999981×0.000172023064308746×6371000²
    0.000383499999999981×0.000172023064308746×40589641000000     		ar = 1666293.93318138m²