Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78357 / 58875
↖ ↑ ↗
← N 17.991795°
E 35.213928°		 ← 290.49 m → N 17.991795°
E 35.216675°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 17.989183°
E 35.213928°		 ← 290.49 m →
84 375 m²		 N 17.989183°
E 35.216675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597820281982422 y=0.449184417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597820281982422 × 217)
    floor (0.597820281982422 × 131072)
    floor (78357.5)     		tx = 78357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449184417724609 × 217)
    floor (0.449184417724609 × 131072)
    floor (58875.5)     		ty = 58875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78357 / 58875 ti = "17/78357/58875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78357/58875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78357 ÷ 217
    78357 ÷ 131072     		x = 0.597816467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58875 ÷ 217
    58875 ÷ 131072     		y = 0.449180603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597816467285156 × 2 - 1) × π
    0.195632934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.61459899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449180603027344 × 2 - 1) × π
    0.101638793945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.319307688369194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61459899} λ = 0.61459899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319307688369194))-π/2
    2×atan(1.37617469271695)-π/2
    2×0.942406193592931-π/2
    1.88481238718586-1.57079632675     		φ = 0.31401606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61459899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.213928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31401606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.991795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78357 KachelY 58875 0.61459899 0.31401606 35.213928 17.991795
    Oben rechts KachelX + 1 78358 KachelY 58875 0.61464693 0.31401606 35.216675 17.991795
    Unten links KachelX 78357 KachelY + 1 58876 0.61459899 0.31397047 35.213928 17.989183
    Unten rechts KachelX + 1 78358 KachelY + 1 58876 0.61464693 0.31397047 35.216675 17.989183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31401606-0.31397047) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31401606-0.31397047) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61459899-0.61464693) × cos(0.31401606) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951100759432586 × 6371000     		do = 290.490653264742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61459899-0.61464693) × cos(0.31397047) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95111484031961 × 6371000     		du = 290.494953930081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31401606)-sin(0.31397047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951100759432586-0.95111484031961)×R²
    abs(0.61464693-0.61459899)×1.40808870240372e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.40808870240372e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.40808870240372e-05×40589641000000     		ar = 84374.76483644m²