Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78356 / 58892
↖ ↑ ↗
← N 17.947380°
E 35.211181°		 ← 290.56 m → N 17.947380°
E 35.213928°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 17.944768°
E 35.211181°		 ← 290.57 m →
84 414 m²		 N 17.944768°
E 35.213928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597812652587891 y=0.449314117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597812652587891 × 217)
    floor (0.597812652587891 × 131072)
    floor (78356.5)     		tx = 78356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449314117431641 × 217)
    floor (0.449314117431641 × 131072)
    floor (58892.5)     		ty = 58892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78356 / 58892 ti = "17/78356/58892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78356/58892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78356 ÷ 217
    78356 ÷ 131072     		x = 0.597808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58892 ÷ 217
    58892 ÷ 131072     		y = 0.449310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597808837890625 × 2 - 1) × π
    0.19561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61455105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449310302734375 × 2 - 1) × π
    0.10137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.318492761075653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61455105} λ = 0.61455105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318492761075653))-π/2
    2×atan(1.37505366723835)-π/2
    2×0.942018605869054-π/2
    1.88403721173811-1.57079632675     		φ = 0.31324088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61455105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.211181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31324088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.947380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78356 KachelY 58892 0.61455105 0.31324088 35.211181 17.947380
    Oben rechts KachelX + 1 78357 KachelY 58892 0.61459899 0.31324088 35.213928 17.947380
    Unten links KachelX 78356 KachelY + 1 58893 0.61455105 0.31319528 35.211181 17.944768
    Unten rechts KachelX + 1 78357 KachelY + 1 58893 0.61459899 0.31319528 35.213928 17.944768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31324088-0.31319528) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dl = 290.517599999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31324088-0.31319528) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dr = 290.517599999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61455105-0.61459899) × cos(0.31324088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951339911863006 × 6371000     		do = 290.563696572103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61455105-0.61459899) × cos(0.31319528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95135396221422 × 6371000     		du = 290.56798791102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31324088)-sin(0.31319528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951339911863006-0.95135396221422)×R²
    abs(0.61459899-0.61455105)×1.40503512137125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40503512137125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40503512137125e-05×40589641000000     		ar = 84414.4911445532m²