Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78354 / 58891
↖ ↑ ↗
← N 17.949994°
E 35.205689°		 ← 290.56 m → N 17.949994°
E 35.208435°		 →
↑
290.58 m
↓
↑
290.58 m
↓
N 17.947380°
E 35.205689°		 ← 290.56 m →
84 432 m²		 N 17.947380°
E 35.208435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597797393798828 y=0.449306488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597797393798828 × 217)
    floor (0.597797393798828 × 131072)
    floor (78354.5)     		tx = 78354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449306488037109 × 217)
    floor (0.449306488037109 × 131072)
    floor (58891.5)     		ty = 58891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78354 / 58891 ti = "17/78354/58891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78354/58891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78354 ÷ 217
    78354 ÷ 131072     		x = 0.597793579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58891 ÷ 217
    58891 ÷ 131072     		y = 0.449302673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597793579101562 × 2 - 1) × π
    0.195587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61445518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449302673339844 × 2 - 1) × π
    0.101394653320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.318540697975273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61445518} λ = 0.61445518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318540697975273))-π/2
    2×atan(1.37511958462789)-π/2
    2×0.94204140784353-π/2
    1.88408281568706-1.57079632675     		φ = 0.31328649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61445518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.205689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31328649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.949994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78354 KachelY 58891 0.61445518 0.31328649 35.205689 17.949994
    Oben rechts KachelX + 1 78355 KachelY 58891 0.61450312 0.31328649 35.208435 17.949994
    Unten links KachelX 78354 KachelY + 1 58892 0.61445518 0.31324088 35.205689 17.947380
    Unten rechts KachelX + 1 78355 KachelY + 1 58892 0.61450312 0.31324088 35.208435 17.947380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31328649-0.31324088) × R
    4.56099999999737e-05 × 6371000     		dl = 290.581309999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31328649-0.31324088) × R
    4.56099999999737e-05 × 6371000     		dr = 290.581309999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61445518-0.61450312) × cos(0.31328649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951325856451746 × 6371000     		do = 290.559403687718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61445518-0.61450312) × cos(0.31324088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951339911863006 × 6371000     		du = 290.563696572103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31328649)-sin(0.31324088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951325856451746-0.951339911863006)×R²
    abs(0.61450312-0.61445518)×1.40554112600944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40554112600944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40554112600944e-05×40589641000000     		ar = 84431.7558869086m²