Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78354 / 58874
↖ ↑ ↗
← N 17.994407°
E 35.205689°		 ← 290.49 m → N 17.994407°
E 35.208435°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 17.991795°
E 35.205689°		 ← 290.49 m →
84 374 m²		 N 17.991795°
E 35.208435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597797393798828 y=0.449176788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597797393798828 × 217)
    floor (0.597797393798828 × 131072)
    floor (78354.5)     		tx = 78354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449176788330078 × 217)
    floor (0.449176788330078 × 131072)
    floor (58874.5)     		ty = 58874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78354 / 58874 ti = "17/78354/58874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78354/58874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78354 ÷ 217
    78354 ÷ 131072     		x = 0.597793579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58874 ÷ 217
    58874 ÷ 131072     		y = 0.449172973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597793579101562 × 2 - 1) × π
    0.195587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61445518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449172973632812 × 2 - 1) × π
    0.101654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.319355625268814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61445518} λ = 0.61445518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319355625268814))-π/2
    2×atan(1.37624066384627)-π/2
    2×0.942428989834967-π/2
    1.88485797966993-1.57079632675     		φ = 0.31406165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61445518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.205689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31406165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.994407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78354 KachelY 58874 0.61445518 0.31406165 35.205689 17.994407
    Oben rechts KachelX + 1 78355 KachelY 58874 0.61450312 0.31406165 35.208435 17.994407
    Unten links KachelX 78354 KachelY + 1 58875 0.61445518 0.31401606 35.205689 17.991795
    Unten rechts KachelX + 1 78355 KachelY + 1 58875 0.61450312 0.31401606 35.208435 17.991795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31406165-0.31401606) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dl = 290.453890000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31406165-0.31401606) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dr = 290.453890000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61445518-0.61450312) × cos(0.31406165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951086676568748 × 6371000     		do = 290.48635199496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61445518-0.61450312) × cos(0.31401606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951100759432586 × 6371000     		du = 290.490653264069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31406165)-sin(0.31401606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951086676568748-0.951100759432586)×R²
    abs(0.61450312-0.61445518)×1.40828638376389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40828638376389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40828638376389e-05×40589641000000     		ar = 84373.5156037299m²