Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78351 / 60014
↖ ↑ ↗
← N 14.992546°
E 35.197449°		 ← 295.03 m → N 14.992546°
E 35.200196°		 →
↑
295.04 m
↓
↑
295.04 m
↓
N 14.989893°
E 35.197449°		 ← 295.03 m →
87 046 m²		 N 14.989893°
E 35.200196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597774505615234 y=0.457874298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597774505615234 × 217)
    floor (0.597774505615234 × 131072)
    floor (78351.5)     		tx = 78351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457874298095703 × 217)
    floor (0.457874298095703 × 131072)
    floor (60014.5)     		ty = 60014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78351 / 60014 ti = "17/78351/60014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78351/60014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78351 ÷ 217
    78351 ÷ 131072     		x = 0.597770690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60014 ÷ 217
    60014 ÷ 131072     		y = 0.457870483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597770690917969 × 2 - 1) × π
    0.195541381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.61431137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457870483398438 × 2 - 1) × π
    0.084259033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.26470755970195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61431137} λ = 0.61431137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26470755970195))-π/2
    2×atan(1.30304985576547)-π/2
    2×0.916232806826002-π/2
    1.832465613652-1.57079632675     		φ = 0.26166929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61431137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.197449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26166929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.992546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78351 KachelY 60014 0.61431137 0.26166929 35.197449 14.992546
    Oben rechts KachelX + 1 78352 KachelY 60014 0.61435931 0.26166929 35.200196 14.992546
    Unten links KachelX 78351 KachelY + 1 60015 0.61431137 0.26162298 35.197449 14.989893
    Unten rechts KachelX + 1 78352 KachelY + 1 60015 0.61435931 0.26162298 35.200196 14.989893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26166929-0.26162298) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dl = 295.041009999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26166929-0.26162298) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dr = 295.041009999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61431137-0.61435931) × cos(0.26166929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965959489902761 × 6371000     		do = 295.02889201338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61431137-0.61435931) × cos(0.26162298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965971468957289 × 6371000     		du = 295.032550724974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26166929)-sin(0.26162298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965959489902761-0.965971468957289)×R²
    abs(0.61435931-0.61431137)×1.19790545288767e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19790545288767e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19790545288767e-05×40589641000000     		ar = 87046.1620293311m²