Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7835 / 8349
↖ ↑ ↗
← N 79.008105°
W136.961060°		 ← 116.47 m → N 79.008105°
W136.955566°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
N 79.007057°
W136.961060°		 ← 116.48 m →
13 565 m²		 N 79.007057°
W136.955566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119560241699219 y=0.127403259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119560241699219 × 216)
    floor (0.119560241699219 × 65536)
    floor (7835.5)     		tx = 7835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127403259277344 × 216)
    floor (0.127403259277344 × 65536)
    floor (8349.5)     		ty = 8349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7835 / 8349 ti = "16/7835/8349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7835/8349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7835 ÷ 216
    7835 ÷ 65536     		x = 0.119552612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8349 ÷ 216
    8349 ÷ 65536     		y = 0.127395629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119552612304688 × 2 - 1) × π
    -0.760894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.39042144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127395629882812 × 2 - 1) × π
    0.745208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3411423036443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39042144} λ = -2.39042144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3411423036443))-π/2
    2×atan(10.3931018626873)-π/2
    2×1.47487394522369-π/2
    2.94974789044739-1.57079632675     		φ = 1.37895156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39042144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.961060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37895156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.008105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7835 KachelY 8349 -2.39042144 1.37895156 -136.961060 79.008105
    Oben rechts KachelX + 1 7836 KachelY 8349 -2.39032556 1.37895156 -136.955566 79.008105
    Unten links KachelX 7835 KachelY + 1 8350 -2.39042144 1.37893328 -136.961060 79.007057
    Unten rechts KachelX + 1 7836 KachelY + 1 8350 -2.39032556 1.37893328 -136.955566 79.007057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37895156-1.37893328) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37895156-1.37893328) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39042144--2.39032556) × cos(1.37895156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190670141395527 × 6371000     		do = 116.471138063191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39042144--2.39032556) × cos(1.37893328) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190688086001782 × 6371000     		du = 116.482099552479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37895156)-sin(1.37893328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190670141395527-0.190688086001782)×R²
    abs(-2.39032556--2.39042144)×1.79446062550104e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79446062550104e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79446062550104e-05×40589641000000     		ar = 13565.0860027297m²