Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7835 / 4269
↖ ↑ ↗
← N 64.951465°
W  7.844239°		 ← 1 034.45 m → N 64.951465°
W  7.822266°		 →
↑
1 034.65 m
↓
↑
1 034.65 m
↓
N 64.942160°
W  7.844239°		 ← 1 034.81 m →
1 070 480 m²		 N 64.942160°
W  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478240966796875 y=0.260589599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478240966796875 × 214)
    floor (0.478240966796875 × 16384)
    floor (7835.5)     		tx = 7835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260589599609375 × 214)
    floor (0.260589599609375 × 16384)
    floor (4269.5)     		ty = 4269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7835 / 4269 ti = "14/7835/4269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7835/4269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7835 ÷ 214
    7835 ÷ 16384     		x = 0.47821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4269 ÷ 214
    4269 ÷ 16384     		y = 0.26055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13690779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26055908203125 × 2 - 1) × π
    0.4788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50445165767584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13690779} λ = -0.13690779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50445165767584))-π/2
    2×atan(4.50168448924762)-π/2
    2×1.35220662273626-π/2
    2.70441324547251-1.57079632675     		φ = 1.13361692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13690779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.844239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13361692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.951465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7835 KachelY 4269 -0.13690779 1.13361692 -7.844239 64.951465
    Oben rechts KachelX + 1 7836 KachelY 4269 -0.13652429 1.13361692 -7.822266 64.951465
    Unten links KachelX 7835 KachelY + 1 4270 -0.13690779 1.13345452 -7.844239 64.942160
    Unten rechts KachelX + 1 7836 KachelY + 1 4270 -0.13652429 1.13345452 -7.822266 64.942160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13361692-1.13345452) × R
    0.000162400000000007 × 6371000     		dl = 1034.65040000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13361692-1.13345452) × R
    0.000162400000000007 × 6371000     		dr = 1034.65040000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13690779--0.13652429) × cos(1.13361692) × R
    0.000383500000000009 × 0.423385837724193 × 6371000     		do = 1034.44951451603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13690779--0.13652429) × cos(1.13345452) × R
    0.000383500000000009 × 0.42353295833346 × 6371000     		du = 1034.80897113756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13361692)-sin(1.13345452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423385837724193-0.42353295833346)×R²
    abs(-0.13652429--0.13690779)×0.000147120609266582×R²
    0.000383500000000009×0.000147120609266582×6371000²
    0.000383500000000009×0.000147120609266582×40589641000000     		ar = 1070479.5622953m²