Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78342 / 58890
↖ ↑ ↗
← N 17.952606°
E 35.172730°		 ← 290.49 m → N 17.952606°
E 35.175476°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 17.949994°
E 35.172730°		 ← 290.50 m →
84 394 m²		 N 17.949994°
E 35.175476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597705841064453 y=0.449298858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597705841064453 × 217)
    floor (0.597705841064453 × 131072)
    floor (78342.5)     		tx = 78342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449298858642578 × 217)
    floor (0.449298858642578 × 131072)
    floor (58890.5)     		ty = 58890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78342 / 58890 ti = "17/78342/58890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78342/58890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78342 ÷ 217
    78342 ÷ 131072     		x = 0.597702026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58890 ÷ 217
    58890 ÷ 131072     		y = 0.449295043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597702026367188 × 2 - 1) × π
    0.195404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61387994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449295043945312 × 2 - 1) × π
    0.101409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.318588634874893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61387994} λ = 0.61387994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318588634874893))-π/2
    2×atan(1.37518550517738)-π/2
    2×0.942064209481143-π/2
    1.88412841896229-1.57079632675     		φ = 0.31333209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61387994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.172730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31333209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.952606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78342 KachelY 58890 0.61387994 0.31333209 35.172730 17.952606
    Oben rechts KachelX + 1 78343 KachelY 58890 0.61392787 0.31333209 35.175476 17.952606
    Unten links KachelX 78342 KachelY + 1 58891 0.61387994 0.31328649 35.172730 17.949994
    Unten rechts KachelX + 1 78343 KachelY + 1 58891 0.61392787 0.31328649 35.175476 17.949994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31333209-0.31328649) × R
    4.56000000000345e-05 × 6371000     		dl = 290.51760000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31333209-0.31328649) × R
    4.56000000000345e-05 × 6371000     		dr = 290.51760000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61387994-0.61392787) × cos(0.31333209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951311802143771 × 6371000     		do = 290.494503065758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61387994-0.61392787) × cos(0.31328649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951325856451746 × 6371000     		du = 290.498794717772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31333209)-sin(0.31328649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951311802143771-0.951325856451746)×R²
    abs(0.61392787-0.61387994)×1.40543079746314e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40543079746314e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40543079746314e-05×40589641000000     		ar = 84394.3892587879m²