Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78341 / 58883
↖ ↑ ↗
← N 17.970896°
E 35.169983°		 ← 290.53 m → N 17.970896°
E 35.172730°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 17.968283°
E 35.169983°		 ← 290.53 m →
84 403 m²		 N 17.968283°
E 35.172730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597698211669922 y=0.449245452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597698211669922 × 217)
    floor (0.597698211669922 × 131072)
    floor (78341.5)     		tx = 78341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449245452880859 × 217)
    floor (0.449245452880859 × 131072)
    floor (58883.5)     		ty = 58883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78341 / 58883 ti = "17/78341/58883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78341/58883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78341 ÷ 217
    78341 ÷ 131072     		x = 0.597694396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58883 ÷ 217
    58883 ÷ 131072     		y = 0.449241638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597694396972656 × 2 - 1) × π
    0.195388793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.61383200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449241638183594 × 2 - 1) × π
    0.101516723632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.318924193172234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61383200} λ = 0.61383200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318924193172234))-π/2
    2×atan(1.3756470375152)-π/2
    2×0.942223811508706-π/2
    1.88444762301741-1.57079632675     		φ = 0.31365130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61383200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.169983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31365130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.970896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78341 KachelY 58883 0.61383200 0.31365130 35.169983 17.970896
    Oben rechts KachelX + 1 78342 KachelY 58883 0.61387994 0.31365130 35.172730 17.970896
    Unten links KachelX 78341 KachelY + 1 58884 0.61383200 0.31360570 35.169983 17.968283
    Unten rechts KachelX + 1 78342 KachelY + 1 58884 0.61387994 0.31360570 35.172730 17.968283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31365130-0.31360570) × R
    4.56000000000345e-05 × 6371000     		dl = 290.51760000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31365130-0.31360570) × R
    4.56000000000345e-05 × 6371000     		dr = 290.51760000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61383200-0.61387994) × cos(0.31365130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951213363516895 × 6371000     		do = 290.525045449846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61383200-0.61387994) × cos(0.31360570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951227431671528 × 6371000     		du = 290.529342226385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31365130)-sin(0.31360570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951213363516895-0.951227431671528)×R²
    abs(0.61387994-0.61383200)×1.40681546324517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40681546324517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40681546324517e-05×40589641000000     		ar = 84403.2631032727m²