Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7834 / 8350
↖ ↑ ↗
← N 79.007057°
W136.966553°		 ← 116.47 m → N 79.007057°
W136.961060°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
N 79.006010°
W136.966553°		 ← 116.48 m →
13 565 m²		 N 79.006010°
W136.961060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119544982910156 y=0.127418518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119544982910156 × 216)
    floor (0.119544982910156 × 65536)
    floor (7834.5)     		tx = 7834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127418518066406 × 216)
    floor (0.127418518066406 × 65536)
    floor (8350.5)     		ty = 8350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7834 / 8350 ti = "16/7834/8350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7834/8350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7834 ÷ 216
    7834 ÷ 65536     		x = 0.119537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8350 ÷ 216
    8350 ÷ 65536     		y = 0.127410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.76092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39051731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    0.74517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34104642984506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39051731} λ = -2.39051731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34104642984506))-π/2
    2×atan(10.3921054842899)-π/2
    2×1.47486480465831-π/2
    2.94972960931662-1.57079632675     		φ = 1.37893328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39051731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.966553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37893328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.007057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7834 KachelY 8350 -2.39051731 1.37893328 -136.966553 79.007057
    Oben rechts KachelX + 1 7835 KachelY 8350 -2.39042144 1.37893328 -136.961060 79.007057
    Unten links KachelX 7834 KachelY + 1 8351 -2.39051731 1.37891500 -136.966553 79.006010
    Unten rechts KachelX + 1 7835 KachelY + 1 8351 -2.39042144 1.37891500 -136.961060 79.006010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37893328-1.37891500) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dl = 116.461880000944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37893328-1.37891500) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dr = 116.461880000944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39051731--2.39042144) × cos(1.37893328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190688086001782 × 6371000     		do = 116.469950814594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39051731--2.39042144) × cos(1.37891500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190706030544317 × 6371000     		du = 116.480911121713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37893328)-sin(1.37891500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190688086001782-0.190706030544317)×R²
    abs(-2.39042144--2.39051731)×1.79445425351754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79445425351754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79445425351754e-05×40589641000000     		ar = 13564.9476651503m²