Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7834 / 3278
↖ ↑ ↗
← N 72.724958°
W  7.866211°		 ← 725.53 m → N 72.724958°
W  7.844239°		 →
↑
725.66 m
↓
↑
725.66 m
↓
N 72.718432°
W  7.866211°		 ← 725.80 m →
526 586 m²		 N 72.718432°
W  7.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478179931640625 y=0.200103759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478179931640625 × 214)
    floor (0.478179931640625 × 16384)
    floor (7834.5)     		tx = 7834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200103759765625 × 214)
    floor (0.200103759765625 × 16384)
    floor (3278.5)     		ty = 3278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7834 / 3278 ti = "14/7834/3278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7834/3278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7834 ÷ 214
    7834 ÷ 16384     		x = 0.4781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3278 ÷ 214
    3278 ÷ 16384     		y = 0.2000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13729128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2000732421875 × 2 - 1) × π
    0.599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88449539786365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13729128} λ = -0.13729128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88449539786365))-π/2
    2×atan(6.58303179187153)-π/2
    2×1.42004314474814-π/2
    2.84008628949629-1.57079632675     		φ = 1.26928996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13729128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26928996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.724958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7834 KachelY 3278 -0.13729128 1.26928996 -7.866211 72.724958
    Oben rechts KachelX + 1 7835 KachelY 3278 -0.13690779 1.26928996 -7.844239 72.724958
    Unten links KachelX 7834 KachelY + 1 3279 -0.13729128 1.26917606 -7.866211 72.718432
    Unten rechts KachelX + 1 7835 KachelY + 1 3279 -0.13690779 1.26917606 -7.844239 72.718432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26928996-1.26917606) × R
    0.000113900000000111 × 6371000     		dl = 725.656900000708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26928996-1.26917606) × R
    0.000113900000000111 × 6371000     		dr = 725.656900000708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13729128--0.13690779) × cos(1.26928996) × R
    0.000383489999999986 × 0.296958957993829 × 6371000     		do = 725.534518193487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13729128--0.13690779) × cos(1.26917606) × R
    0.000383489999999986 × 0.297067718066082 × 6371000     		du = 725.800242410575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26928996)-sin(1.26917606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296958957993829-0.297067718066082)×R²
    abs(-0.13690779--0.13729128)×0.000108760072252245×R²
    0.000383489999999986×0.000108760072252245×6371000²
    0.000383489999999986×0.000108760072252245×40589641000000     		ar = 526585.542191757m²