Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78331 / 57683
↖ ↑ ↗
← N 21.076812°
E 35.142517°		 ← 284.99 m → N 21.076812°
E 35.145264°		 →
↑
284.97 m
↓
↑
284.97 m
↓
N 21.074249°
E 35.142517°		 ← 285 m →
81 216 m²		 N 21.074249°
E 35.145264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597621917724609 y=0.440090179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597621917724609 × 217)
    floor (0.597621917724609 × 131072)
    floor (78331.5)     		tx = 78331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440090179443359 × 217)
    floor (0.440090179443359 × 131072)
    floor (57683.5)     		ty = 57683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78331 / 57683 ti = "17/78331/57683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78331/57683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78331 ÷ 217
    78331 ÷ 131072     		x = 0.597618103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57683 ÷ 217
    57683 ÷ 131072     		y = 0.440086364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597618103027344 × 2 - 1) × π
    0.195236206054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.61335263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440086364746094 × 2 - 1) × π
    0.119827270507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.376448472716301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61335263} λ = 0.61335263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376448472716301))-π/2
    2×atan(1.4571004570612)-π/2
    2×0.969328044104122-π/2
    1.93865608820824-1.57079632675     		φ = 0.36785976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61335263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.142517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36785976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.076812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78331 KachelY 57683 0.61335263 0.36785976 35.142517 21.076812
    Oben rechts KachelX + 1 78332 KachelY 57683 0.61340057 0.36785976 35.145264 21.076812
    Unten links KachelX 78331 KachelY + 1 57684 0.61335263 0.36781503 35.142517 21.074249
    Unten rechts KachelX + 1 78332 KachelY + 1 57684 0.61340057 0.36781503 35.145264 21.074249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36785976-0.36781503) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dl = 284.974829999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36785976-0.36781503) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dr = 284.974829999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61335263-0.61340057) × cos(0.36785976) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.933099153506074 × 6371000     		do = 284.992499453439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61335263-0.61340057) × cos(0.36781503) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93311523833947 × 6371000     		du = 284.997412175582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36785976)-sin(0.36781503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933099153506074-0.93311523833947)×R²
    abs(0.61340057-0.61335263)×1.60848333955466e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.60848333955466e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.60848333955466e-05×40589641000000     		ar = 81216.3890975597m²