Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7833 / 3593
↖ ↑ ↗
← N 70.546862°
W  7.888184°		 ← 813.70 m → N 70.546862°
W  7.866211°		 →
↑
813.83 m
↓
↑
813.83 m
↓
N 70.539543°
W  7.888184°		 ← 813.99 m →
662 334 m²		 N 70.539543°
W  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478118896484375 y=0.219329833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478118896484375 × 214)
    floor (0.478118896484375 × 16384)
    floor (7833.5)     		tx = 7833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219329833984375 × 214)
    floor (0.219329833984375 × 16384)
    floor (3593.5)     		ty = 3593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7833 / 3593 ti = "14/7833/3593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7833/3593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7833 ÷ 214
    7833 ÷ 16384     		x = 0.47808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3593 ÷ 214
    3593 ÷ 16384     		y = 0.21929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21929931640625 × 2 - 1) × π
    0.5614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76369441082111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13767478} λ = -0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76369441082111))-π/2
    2×atan(5.83395064092592)-π/2
    2×1.40103567438799-π/2
    2.80207134877598-1.57079632675     		φ = 1.23127502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23127502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.546862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7833 KachelY 3593 -0.13767478 1.23127502 -7.888184 70.546862
    Oben rechts KachelX + 1 7834 KachelY 3593 -0.13729128 1.23127502 -7.866211 70.546862
    Unten links KachelX 7833 KachelY + 1 3594 -0.13767478 1.23114728 -7.888184 70.539543
    Unten rechts KachelX + 1 7834 KachelY + 1 3594 -0.13729128 1.23114728 -7.866211 70.539543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23127502-1.23114728) × R
    0.000127739999999932 × 6371000     		dl = 813.831539999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23127502-1.23114728) × R
    0.000127739999999932 × 6371000     		dr = 813.831539999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13767478--0.13729128) × cos(1.23127502) × R
    0.000383500000000009 × 0.333035763696768 × 6371000     		do = 813.699121171413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13767478--0.13729128) × cos(1.23114728) × R
    0.000383500000000009 × 0.333156208838619 × 6371000     		du = 813.993402196926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23127502)-sin(1.23114728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333035763696768-0.333156208838619)×R²
    abs(-0.13729128--0.13767478)×0.000120445141850278×R²
    0.000383500000000009×0.000120445141850278×6371000²
    0.000383500000000009×0.000120445141850278×40589641000000     		ar = 662333.757371368m²