Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78321 / 58866
↖ ↑ ↗
← N 18.015304°
E 35.115051°		 ← 290.45 m → N 18.015304°
E 35.117798°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 18.012692°
E 35.115051°		 ← 290.46 m →
84 364 m²		 N 18.012692°
E 35.117798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597545623779297 y=0.449115753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597545623779297 × 217)
    floor (0.597545623779297 × 131072)
    floor (78321.5)     		tx = 78321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449115753173828 × 217)
    floor (0.449115753173828 × 131072)
    floor (58866.5)     		ty = 58866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78321 / 58866 ti = "17/78321/58866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78321/58866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78321 ÷ 217
    78321 ÷ 131072     		x = 0.597541809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58866 ÷ 217
    58866 ÷ 131072     		y = 0.449111938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597541809082031 × 2 - 1) × π
    0.195083618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.61287326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449111938476562 × 2 - 1) × π
    0.101776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.319739120465775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61287326} λ = 0.61287326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319739120465775))-π/2
    2×atan(1.37676854674452)-π/2
    2×0.942611347614671-π/2
    1.88522269522934-1.57079632675     		φ = 0.31442637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61287326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.115051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31442637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.015304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78321 KachelY 58866 0.61287326 0.31442637 35.115051 18.015304
    Oben rechts KachelX + 1 78322 KachelY 58866 0.61292120 0.31442637 35.117798 18.015304
    Unten links KachelX 78321 KachelY + 1 58867 0.61287326 0.31438078 35.115051 18.012692
    Unten rechts KachelX + 1 78322 KachelY + 1 58867 0.61292120 0.31438078 35.117798 18.012692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31442637-0.31438078) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31442637-0.31438078) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61287326-0.61292120) × cos(0.31442637) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950973942496273 × 6371000     		do = 290.451920108124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61287326-0.61292120) × cos(0.31438078) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950988041173565 × 6371000     		du = 290.456226207069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31442637)-sin(0.31438078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950973942496273-0.950988041173565)×R²
    abs(0.61292120-0.61287326)×1.40986772920737e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.40986772920737e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.40986772920737e-05×40589641000000     		ar = 84363.5154295459m²