Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78320 / 58864
↖ ↑ ↗
← N 18.020528°
E 35.112304°		 ← 290.44 m → N 18.020528°
E 35.115051°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 18.017916°
E 35.112304°		 ← 290.45 m →
84 361 m²		 N 18.017916°
E 35.115051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597537994384766 y=0.449100494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597537994384766 × 217)
    floor (0.597537994384766 × 131072)
    floor (78320.5)     		tx = 78320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449100494384766 × 217)
    floor (0.449100494384766 × 131072)
    floor (58864.5)     		ty = 58864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78320 / 58864 ti = "17/78320/58864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78320/58864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78320 ÷ 217
    78320 ÷ 131072     		x = 0.5975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58864 ÷ 217
    58864 ÷ 131072     		y = 0.4490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5975341796875 × 2 - 1) × π
    0.195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61282532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    0.101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319834994265015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61282532} λ = 0.61282532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319834994265015))-π/2
    2×atan(1.37690054910346)-π/2
    2×0.942656933681214-π/2
    1.88531386736243-1.57079632675     		φ = 0.31451754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61282532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.112304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31451754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.020528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78320 KachelY 58864 0.61282532 0.31451754 35.112304 18.020528
    Oben rechts KachelX + 1 78321 KachelY 58864 0.61287326 0.31451754 35.115051 18.020528
    Unten links KachelX 78320 KachelY + 1 58865 0.61282532 0.31447195 35.112304 18.017916
    Unten rechts KachelX + 1 78321 KachelY + 1 58865 0.61287326 0.31447195 35.115051 18.017916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31451754-0.31447195) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31451754-0.31447195) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61282532-0.61287326) × cos(0.31451754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950945742305645 × 6371000     		do = 290.44330704336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61282532-0.61287326) × cos(0.31447195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950959844935574 × 6371000     		du = 290.447614349543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31451754)-sin(0.31447195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950945742305645-0.950959844935574)×R²
    abs(0.61287326-0.61282532)×1.41026299291802e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41026299291802e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41026299291802e-05×40589641000000     		ar = 84361.0139066742m²