Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78320 / 58833
↖ ↑ ↗
← N 18.101476°
E 35.112304°		 ← 290.31 m → N 18.101476°
E 35.115051°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
N 18.098866°
E 35.112304°		 ← 290.31 m →
84 267 m²		 N 18.098866°
E 35.115051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597537994384766 y=0.448863983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597537994384766 × 217)
    floor (0.597537994384766 × 131072)
    floor (78320.5)     		tx = 78320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448863983154297 × 217)
    floor (0.448863983154297 × 131072)
    floor (58833.5)     		ty = 58833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78320 / 58833 ti = "17/78320/58833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78320/58833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78320 ÷ 217
    78320 ÷ 131072     		x = 0.5975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58833 ÷ 217
    58833 ÷ 131072     		y = 0.448860168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5975341796875 × 2 - 1) × π
    0.195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61282532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448860168457031 × 2 - 1) × π
    0.102279663085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.321321038153236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61282532} λ = 0.61282532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321321038153236))-π/2
    2×atan(1.37894820482545)-π/2
    2×0.943363344612433-π/2
    1.88672668922487-1.57079632675     		φ = 0.31593036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61282532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.112304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31593036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.101476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78320 KachelY 58833 0.61282532 0.31593036 35.112304 18.101476
    Oben rechts KachelX + 1 78321 KachelY 58833 0.61287326 0.31593036 35.115051 18.101476
    Unten links KachelX 78320 KachelY + 1 58834 0.61282532 0.31588480 35.112304 18.098866
    Unten rechts KachelX + 1 78321 KachelY + 1 58834 0.61287326 0.31588480 35.115051 18.098866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31593036-0.31588480) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31593036-0.31588480) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61282532-0.61287326) × cos(0.31593036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950507726613211 × 6371000     		do = 290.309525776367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61282532-0.61287326) × cos(0.31588480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950521881160628 × 6371000     		du = 290.313848939486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31593036)-sin(0.31588480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950507726613211-0.950521881160628)×R²
    abs(0.61287326-0.61282532)×1.41545474164895e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41545474164895e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41545474164895e-05×40589641000000     		ar = 84266.6716473165m²