Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7832 / 8280
↖ ↑ ↗
← N 79.080140°
W136.977539°		 ← 115.72 m → N 79.080140°
W136.972046°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
N 79.079099°
W136.977539°		 ← 115.73 m →
13 396 m²		 N 79.079099°
W136.972046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119514465332031 y=0.126350402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119514465332031 × 216)
    floor (0.119514465332031 × 65536)
    floor (7832.5)     		tx = 7832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126350402832031 × 216)
    floor (0.126350402832031 × 65536)
    floor (8280.5)     		ty = 8280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7832 / 8280 ti = "16/7832/8280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7832/8280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7832 ÷ 216
    7832 ÷ 65536     		x = 0.1195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8280 ÷ 216
    8280 ÷ 65536     		y = 0.1263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39070906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1263427734375 × 2 - 1) × π
    0.747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34775759579187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39070906} λ = -2.39070906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34775759579187))-π/2
    2×atan(10.4620831820549)-π/2
    2×1.47550257105505-π/2
    2.95100514211011-1.57079632675     		φ = 1.38020882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39070906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38020882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.080140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7832 KachelY 8280 -2.39070906 1.38020882 -136.977539 79.080140
    Oben rechts KachelX + 1 7833 KachelY 8280 -2.39061318 1.38020882 -136.972046 79.080140
    Unten links KachelX 7832 KachelY + 1 8281 -2.39070906 1.38019065 -136.977539 79.079099
    Unten rechts KachelX + 1 7833 KachelY + 1 8281 -2.39061318 1.38019065 -136.972046 79.079099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38020882-1.38019065) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38020882-1.38019065) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39070906--2.39061318) × cos(1.38020882) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189435796510393 × 6371000     		do = 115.717136663276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39070906--2.39061318) × cos(1.38019065) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189453637476925 × 6371000     		du = 115.728034844087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38020882)-sin(1.38019065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189435796510393-0.189453637476925)×R²
    abs(-2.39061318--2.39070906)×1.78409665323453e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78409665323453e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78409665323453e-05×40589641000000     		ar = 13396.1703503195m²