Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7832 / 4904
↖ ↑ ↗
← N 58.355631°
W  7.910156°		 ← 1 281.82 m → N 58.355631°
W  7.888184°		 →
↑
1 282.04 m
↓
↑
1 282.04 m
↓
N 58.344101°
W  7.910156°		 ← 1 282.24 m →
1 643 610 m²		 N 58.344101°
W  7.888184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478057861328125 y=0.299346923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478057861328125 × 214)
    floor (0.478057861328125 × 16384)
    floor (7832.5)     		tx = 7832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299346923828125 × 214)
    floor (0.299346923828125 × 16384)
    floor (4904.5)     		ty = 4904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7832 / 4904 ti = "14/7832/4904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7832/4904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7832 ÷ 214
    7832 ÷ 16384     		x = 0.47802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4904 ÷ 214
    4904 ÷ 16384     		y = 0.29931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13805827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29931640625 × 2 - 1) × π
    0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13805827} λ = -0.13805827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26093220760596))-π/2
    2×atan(3.52870944438127)-π/2
    2×1.29464710684189-π/2
    2.58929421368379-1.57079632675     		φ = 1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13805827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7832 KachelY 4904 -0.13805827 1.01849789 -7.910156 58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 7833 KachelY 4904 -0.13767478 1.01849789 -7.888184 58.355631
    Unten links KachelX 7832 KachelY + 1 4905 -0.13805827 1.01829666 -7.910156 58.344101
    Unten rechts KachelX + 1 7833 KachelY + 1 4905 -0.13767478 1.01829666 -7.888184 58.344101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01849789-1.01829666) × R
    0.00020122999999983 × 6371000     		dl = 1282.03632999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01849789-1.01829666) × R
    0.00020122999999983 × 6371000     		dr = 1282.03632999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13805827--0.13767478) × cos(1.01849789) × R
    0.000383490000000014 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 1281.8212060783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13805827--0.13767478) × cos(1.01829666) × R
    0.000383490000000014 × 0.524816620989695 × 6371000     		du = 1282.23973043989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01849789)-sin(1.01829666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.524816620989695)×R²
    abs(-0.13767478--0.13805827)×0.000171300682733411×R²
    0.000383490000000014×0.000171300682733411×6371000²
    0.000383490000000014×0.000171300682733411×40589641000000     		ar = 1643609.64202038m²