Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7829 / 9541
↖ ↑ ↗
← S 28.401065°
W  7.976074°		 ← 2 149.20 m → S 28.401065°
W  7.954101°		 →
↑
2 149 m
↓
↑
2 149 m
↓
S 28.420391°
W  7.976074°		 ← 2 148.81 m →
4 618 224 m²		 S 28.420391°
W  7.954101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477874755859375 y=0.582366943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477874755859375 × 214)
    floor (0.477874755859375 × 16384)
    floor (7829.5)     		tx = 7829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582366943359375 × 214)
    floor (0.582366943359375 × 16384)
    floor (9541.5)     		ty = 9541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7829 / 9541 ti = "14/7829/9541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7829/9541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7829 ÷ 214
    7829 ÷ 16384     		x = 0.47784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9541 ÷ 214
    9541 ÷ 16384     		y = 0.58233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.0443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13920876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.517335020699646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13920876} λ = -0.13920876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517335020699646))-π/2
    2×atan(0.596107045977387)-π/2
    2×0.537552117250272-π/2
    1.07510423450054-1.57079632675     		φ = -0.49569209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13920876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49569209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.401065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7829 KachelY 9541 -0.13920876 -0.49569209 -7.976074 -28.401065
    Oben rechts KachelX + 1 7830 KachelY 9541 -0.13882526 -0.49569209 -7.954101 -28.401065
    Unten links KachelX 7829 KachelY + 1 9542 -0.13920876 -0.49602940 -7.976074 -28.420391
    Unten rechts KachelX + 1 7830 KachelY + 1 9542 -0.13882526 -0.49602940 -7.954101 -28.420391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49569209--0.49602940) × R
    0.000337310000000035 × 6371000     		dl = 2149.00201000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49569209--0.49602940) × R
    0.000337310000000035 × 6371000     		dr = 2149.00201000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13920876--0.13882526) × cos(-0.49569209) × R
    0.000383499999999981 × 0.879639734459454 × 6371000     		do = 2149.20485095039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13920876--0.13882526) × cos(-0.49602940) × R
    0.000383499999999981 × 0.879479246105049 × 6371000     		du = 2148.81273320457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49569209)-sin(-0.49602940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879639734459454-0.879479246105049)×R²
    abs(-0.13882526--0.13920876)×0.000160488354404631×R²
    0.000383499999999981×0.000160488354404631×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160488354404631×40589641000000     		ar = 4618224.25747033m²