Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7828 / 4334
↖ ↑ ↗
← N 64.339908°
W  7.998047°		 ← 1 057.99 m → N 64.339908°
W  7.976074°		 →
↑
1 058.16 m
↓
↑
1 058.16 m
↓
N 64.330391°
W  7.998047°		 ← 1 058.35 m →
1 119 714 m²		 N 64.330391°
W  7.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477813720703125 y=0.264556884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477813720703125 × 214)
    floor (0.477813720703125 × 16384)
    floor (7828.5)     		tx = 7828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264556884765625 × 214)
    floor (0.264556884765625 × 16384)
    floor (4334.5)     		ty = 4334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7828 / 4334 ti = "14/7828/4334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7828/4334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7828 ÷ 214
    7828 ÷ 16384     		x = 0.477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4334 ÷ 214
    4334 ÷ 16384     		y = 0.2645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2645263671875 × 2 - 1) × π
    0.470947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47952446987341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13959225} λ = -0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47952446987341))-π/2
    2×atan(4.39085719951029)-π/2
    2×1.34686977965991-π/2
    2.69373955931981-1.57079632675     		φ = 1.12294323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12294323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.339908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7828 KachelY 4334 -0.13959225 1.12294323 -7.998047 64.339908
    Oben rechts KachelX + 1 7829 KachelY 4334 -0.13920876 1.12294323 -7.976074 64.339908
    Unten links KachelX 7828 KachelY + 1 4335 -0.13959225 1.12277714 -7.998047 64.330391
    Unten rechts KachelX + 1 7829 KachelY + 1 4335 -0.13920876 1.12277714 -7.976074 64.330391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12294323-1.12277714) × R
    0.000166090000000008 × 6371000     		dl = 1058.15939000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12294323-1.12277714) × R
    0.000166090000000008 × 6371000     		dr = 1058.15939000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13959225--0.13920876) × cos(1.12294323) × R
    0.000383490000000014 × 0.433031360406481 × 6371000     		do = 1057.98862427897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13959225--0.13920876) × cos(1.12277714) × R
    0.000383490000000014 × 0.433181064447103 × 6371000     		du = 1058.35438340514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12294323)-sin(1.12277714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433031360406481-0.433181064447103)×R²
    abs(-0.13920876--0.13959225)×0.000149704040622423×R²
    0.000383490000000014×0.000149704040622423×6371000²
    0.000383490000000014×0.000149704040622423×40589641000000     		ar = 1119714.11559463m²