Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7828 / 4323
↖ ↑ ↗
← N 64.444372°
W  7.998047°		 ← 1 053.97 m → N 64.444372°
W  7.976074°		 →
↑
1 054.15 m
↓
↑
1 054.15 m
↓
N 64.434892°
W  7.998047°		 ← 1 054.34 m →
1 111 232 m²		 N 64.434892°
W  7.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477813720703125 y=0.263885498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477813720703125 × 214)
    floor (0.477813720703125 × 16384)
    floor (7828.5)     		tx = 7828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263885498046875 × 214)
    floor (0.263885498046875 × 16384)
    floor (4323.5)     		ty = 4323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7828 / 4323 ti = "14/7828/4323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7828/4323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7828 ÷ 214
    7828 ÷ 16384     		x = 0.477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4323 ÷ 214
    4323 ÷ 16384     		y = 0.26385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26385498046875 × 2 - 1) × π
    0.4722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48374291703998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13959225} λ = -0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48374291703998))-π/2
    2×atan(4.40941892191907)-π/2
    2×1.34778140481742-π/2
    2.69556280963484-1.57079632675     		φ = 1.12476648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12476648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.444372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7828 KachelY 4323 -0.13959225 1.12476648 -7.998047 64.444372
    Oben rechts KachelX + 1 7829 KachelY 4323 -0.13920876 1.12476648 -7.976074 64.444372
    Unten links KachelX 7828 KachelY + 1 4324 -0.13959225 1.12460102 -7.998047 64.434892
    Unten rechts KachelX + 1 7829 KachelY + 1 4324 -0.13920876 1.12460102 -7.976074 64.434892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12476648-1.12460102) × R
    0.00016545999999984 × 6371000     		dl = 1054.14565999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12476648-1.12460102) × R
    0.00016545999999984 × 6371000     		dr = 1054.14565999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13959225--0.13920876) × cos(1.12476648) × R
    0.000383490000000014 × 0.431387202568955 × 6371000     		do = 1053.97159353324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13959225--0.13920876) × cos(1.12460102) × R
    0.000383490000000014 × 0.431536469195384 × 6371000     		du = 1054.33628396258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12476648)-sin(1.12460102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431387202568955-0.431536469195384)×R²
    abs(-0.13920876--0.13959225)×0.000149266626429057×R²
    0.000383490000000014×0.000149266626429057×6371000²
    0.000383490000000014×0.000149266626429057×40589641000000     		ar = 1111231.8020375m²