Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7827 / 4254
↖ ↑ ↗
← N 65.090646°
W  8.020020°		 ← 1 029.07 m → N 65.090646°
W  7.998047°		 →
↑
1 029.24 m
↓
↑
1 029.24 m
↓
N 65.081390°
W  8.020020°		 ← 1 029.43 m →
1 059 339 m²		 N 65.081390°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477752685546875 y=0.259674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477752685546875 × 214)
    floor (0.477752685546875 × 16384)
    floor (7827.5)     		tx = 7827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259674072265625 × 214)
    floor (0.259674072265625 × 16384)
    floor (4254.5)     		ty = 4254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7827 / 4254 ti = "14/7827/4254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7827/4254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7827 ÷ 214
    7827 ÷ 16384     		x = 0.47772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4254 ÷ 214
    4254 ÷ 16384     		y = 0.2596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13997575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2596435546875 × 2 - 1) × π
    0.480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51020408563025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13997575} λ = -0.13997575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51020408563025))-π/2
    2×atan(4.5276547292991)-π/2
    2×1.35342120222062-π/2
    2.70684240444124-1.57079632675     		φ = 1.13604608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13997575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.020020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13604608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.090646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7827 KachelY 4254 -0.13997575 1.13604608 -8.020020 65.090646
    Oben rechts KachelX + 1 7828 KachelY 4254 -0.13959225 1.13604608 -7.998047 65.090646
    Unten links KachelX 7827 KachelY + 1 4255 -0.13997575 1.13588453 -8.020020 65.081390
    Unten rechts KachelX + 1 7828 KachelY + 1 4255 -0.13959225 1.13588453 -7.998047 65.081390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13604608-1.13588453) × R
    0.000161550000000066 × 6371000     		dl = 1029.23505000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13604608-1.13588453) × R
    0.000161550000000066 × 6371000     		dr = 1029.23505000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13997575--0.13959225) × cos(1.13604608) × R
    0.000383500000000009 × 0.421183894526239 × 6371000     		do = 1029.06955404225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13997575--0.13959225) × cos(1.13588453) × R
    0.000383500000000009 × 0.421330410883163 × 6371000     		du = 1029.42753430702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13604608)-sin(1.13588453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421183894526239-0.421330410883163)×R²
    abs(-0.13959225--0.13997575)×0.00014651635692442×R²
    0.000383500000000009×0.00014651635692442×6371000²
    0.000383500000000009×0.00014651635692442×40589641000000     		ar = 1059338.67913m²