Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7827 / 4203
↖ ↑ ↗
← N 65.558460°
W  8.020020°		 ← 1 010.94 m → N 65.558460°
W  7.998047°		 →
↑
1 011.14 m
↓
↑
1 011.14 m
↓
N 65.549367°
W  8.020020°		 ← 1 011.30 m →
1 022 384 m²		 N 65.549367°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477752685546875 y=0.256561279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477752685546875 × 214)
    floor (0.477752685546875 × 16384)
    floor (7827.5)     		tx = 7827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256561279296875 × 214)
    floor (0.256561279296875 × 16384)
    floor (4203.5)     		ty = 4203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7827 / 4203 ti = "14/7827/4203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7827/4203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7827 ÷ 214
    7827 ÷ 16384     		x = 0.47772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4203 ÷ 214
    4203 ÷ 16384     		y = 0.25653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13997575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25653076171875 × 2 - 1) × π
    0.4869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52976234067523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13997575} λ = -0.13997575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52976234067523))-π/2
    2×atan(4.61707939992603)-π/2
    2×1.35750365125605-π/2
    2.7150073025121-1.57079632675     		φ = 1.14421098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13997575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.020020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14421098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.558460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7827 KachelY 4203 -0.13997575 1.14421098 -8.020020 65.558460
    Oben rechts KachelX + 1 7828 KachelY 4203 -0.13959225 1.14421098 -7.998047 65.558460
    Unten links KachelX 7827 KachelY + 1 4204 -0.13997575 1.14405227 -8.020020 65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 7828 KachelY + 1 4204 -0.13959225 1.14405227 -7.998047 65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14421098-1.14405227) × R
    0.000158710000000006 × 6371000     		dl = 1011.14141000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14421098-1.14405227) × R
    0.000158710000000006 × 6371000     		dr = 1011.14141000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13997575--0.13959225) × cos(1.14421098) × R
    0.000383500000000009 × 0.413764575325891 × 6371000     		do = 1010.9420909554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13997575--0.13959225) × cos(1.14405227) × R
    0.000383500000000009 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 1011.29510027917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14421098)-sin(1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413764575325891-0.413909057145611)×R²
    abs(-0.13959225--0.13997575)×0.0001444818197196×R²
    0.000383500000000009×0.0001444818197196×6371000²
    0.000383500000000009×0.0001444818197196×40589641000000     		ar = 1022383.88459558m²