Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78265 / 61224
↖ ↑ ↗
← N 11.759815°
E 34.961243°		 ← 298.95 m → N 11.759815°
E 34.963989°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.757125°
E 34.961243°		 ← 298.96 m →
89 404 m²		 N 11.757125°
E 34.963989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597118377685547 y=0.467105865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597118377685547 × 217)
    floor (0.597118377685547 × 131072)
    floor (78265.5)     		tx = 78265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467105865478516 × 217)
    floor (0.467105865478516 × 131072)
    floor (61224.5)     		ty = 61224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78265 / 61224 ti = "17/78265/61224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78265/61224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78265 ÷ 217
    78265 ÷ 131072     		x = 0.597114562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61224 ÷ 217
    61224 ÷ 131072     		y = 0.46710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597114562988281 × 2 - 1) × π
    0.194229125976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.61018880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46710205078125 × 2 - 1) × π
    0.0657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.206703911161682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61018880} λ = 0.61018880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206703911161682))-π/2
    2×atan(1.22961844158003)-π/2
    2×0.888021906141235-π/2
    1.77604381228247-1.57079632675     		φ = 0.20524749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61018880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.961243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20524749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.759815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78265 KachelY 61224 0.61018880 0.20524749 34.961243 11.759815
    Oben rechts KachelX + 1 78266 KachelY 61224 0.61023673 0.20524749 34.963989 11.759815
    Unten links KachelX 78265 KachelY + 1 61225 0.61018880 0.20520055 34.961243 11.757125
    Unten rechts KachelX + 1 78266 KachelY + 1 61225 0.61023673 0.20520055 34.963989 11.757125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20524749-0.20520055) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20524749-0.20520055) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61018880-0.61023673) × cos(0.20524749) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979010573699236 × 6371000     		do = 298.952656176446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61018880-0.61023673) × cos(0.20520055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979020139436795 × 6371000     		du = 298.955577189486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20524749)-sin(0.20520055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979010573699236-0.979020139436795)×R²
    abs(0.61023673-0.61018880)×9.5657375598357e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.5657375598357e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.5657375598357e-06×40589641000000     		ar = 89403.6456529393m²