Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7826 / 9895
↖ ↑ ↗
← S 35.012002°
W  8.041992°		 ← 2 001.07 m → S 35.012002°
W  8.020020°		 →
↑
2 000.88 m
↓
↑
2 000.88 m
↓
S 35.029996°
W  8.041992°		 ← 2 000.63 m →
4 003 455 m²		 S 35.029996°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477691650390625 y=0.603973388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477691650390625 × 214)
    floor (0.477691650390625 × 16384)
    floor (7826.5)     		tx = 7826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603973388671875 × 214)
    floor (0.603973388671875 × 16384)
    floor (9895.5)     		ty = 9895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7826 / 9895 ti = "14/7826/9895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7826/9895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7826 ÷ 214
    7826 ÷ 16384     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9895 ÷ 214
    9895 ÷ 16384     		y = 0.60394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.2078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.653092320423645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.653092320423645))-π/2
    2×atan(0.520433937389791)-π/2
    2×0.479860806721025-π/2
    0.959721613442049-1.57079632675     		φ = -0.61107471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61107471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.012002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7826 KachelY 9895 -0.14035924 -0.61107471 -8.041992 -35.012002
    Oben rechts KachelX + 1 7827 KachelY 9895 -0.13997575 -0.61107471 -8.020020 -35.012002
    Unten links KachelX 7826 KachelY + 1 9896 -0.14035924 -0.61138877 -8.041992 -35.029996
    Unten rechts KachelX + 1 7827 KachelY + 1 9896 -0.13997575 -0.61138877 -8.020020 -35.029996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61107471--0.61138877) × R
    0.000314060000000005 × 6371000     		dl = 2000.87626000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61107471--0.61138877) × R
    0.000314060000000005 × 6371000     		dr = 2000.87626000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(-0.61107471) × R
    0.000383489999999986 × 0.819031878228617 × 6371000     		do = 2001.07079836956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(-0.61138877) × R
    0.000383489999999986 × 0.818851646538544 × 6371000     		du = 2000.63045363875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61107471)-sin(-0.61138877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819031878228617-0.818851646538544)×R²
    abs(-0.13997575--0.14035924)×0.000180231690072419×R²
    0.000383489999999986×0.000180231690072419×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180231690072419×40589641000000     		ar = 4003454.55028401m²