Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7826 / 4945
↖ ↑ ↗
← N 57.879817°
W  8.041992°		 ← 1 299.05 m → N 57.879817°
W  8.020020°		 →
↑
1 299.30 m
↓
↑
1 299.30 m
↓
N 57.868132°
W  8.041992°		 ← 1 299.47 m →
1 688 132 m²		 N 57.868132°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477691650390625 y=0.301849365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477691650390625 × 214)
    floor (0.477691650390625 × 16384)
    floor (7826.5)     		tx = 7826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301849365234375 × 214)
    floor (0.301849365234375 × 16384)
    floor (4945.5)     		ty = 4945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7826 / 4945 ti = "14/7826/4945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7826/4945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7826 ÷ 214
    7826 ÷ 16384     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4945 ÷ 214
    4945 ÷ 16384     		y = 0.30181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30181884765625 × 2 - 1) × π
    0.3963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24520890453058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24520890453058))-π/2
    2×atan(3.47366038693744)-π/2
    2×1.29049484718529-π/2
    2.58098969437057-1.57079632675     		φ = 1.01019337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01019337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.879817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7826 KachelY 4945 -0.14035924 1.01019337 -8.041992 57.879817
    Oben rechts KachelX + 1 7827 KachelY 4945 -0.13997575 1.01019337 -8.020020 57.879817
    Unten links KachelX 7826 KachelY + 1 4946 -0.14035924 1.00998943 -8.041992 57.868132
    Unten rechts KachelX + 1 7827 KachelY + 1 4946 -0.13997575 1.00998943 -8.020020 57.868132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01019337-1.00998943) × R
    0.000203940000000014 × 6371000     		dl = 1299.30174000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01019337-1.00998943) × R
    0.000203940000000014 × 6371000     		dr = 1299.30174000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(1.01019337) × R
    0.000383489999999986 × 0.531696959557926 × 6371000     		do = 1299.04987538991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(1.00998943) × R
    0.000383489999999986 × 0.531869672357242 × 6371000     		du = 1299.47184985562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01019337)-sin(1.00998943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531696959557926-0.531869672357242)×R²
    abs(-0.13997575--0.14035924)×0.000172712799316299×R²
    0.000383489999999986×0.000172712799316299×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172712799316299×40589641000000     		ar = 1688131.90536969m²