Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7826 / 4293
↖ ↑ ↗
← N 64.727262°
W  8.041992°		 ← 1 043.08 m → N 64.727262°
W  8.020020°		 →
↑
1 043.25 m
↓
↑
1 043.25 m
↓
N 64.717880°
W  8.041992°		 ← 1 043.44 m →
1 088 379 m²		 N 64.717880°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477691650390625 y=0.262054443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477691650390625 × 214)
    floor (0.477691650390625 × 16384)
    floor (7826.5)     		tx = 7826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262054443359375 × 214)
    floor (0.262054443359375 × 16384)
    floor (4293.5)     		ty = 4293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7826 / 4293 ti = "14/7826/4293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7826/4293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7826 ÷ 214
    7826 ÷ 16384     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4293 ÷ 214
    4293 ÷ 16384     		y = 0.26202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26202392578125 × 2 - 1) × π
    0.4759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49524777294879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49524777294879))-π/2
    2×atan(4.46044159270902)-π/2
    2×1.35025008475017-π/2
    2.70050016950033-1.57079632675     		φ = 1.12970384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12970384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.727262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7826 KachelY 4293 -0.14035924 1.12970384 -8.041992 64.727262
    Oben rechts KachelX + 1 7827 KachelY 4293 -0.13997575 1.12970384 -8.020020 64.727262
    Unten links KachelX 7826 KachelY + 1 4294 -0.14035924 1.12954009 -8.041992 64.717880
    Unten rechts KachelX + 1 7827 KachelY + 1 4294 -0.13997575 1.12954009 -8.020020 64.717880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12970384-1.12954009) × R
    0.000163749999999796 × 6371000     		dl = 1043.2512499987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12970384-1.12954009) × R
    0.000163749999999796 × 6371000     		dr = 1043.2512499987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(1.12970384) × R
    0.000383489999999986 × 0.426927639928923 × 6371000     		do = 1043.0759241341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(1.12954009) × R
    0.000383489999999986 × 0.427075711002566 × 6371000     		du = 1043.4376935712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12970384)-sin(1.12954009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426927639928923-0.427075711002566)×R²
    abs(-0.13997575--0.14035924)×0.000148071073642675×R²
    0.000383489999999986×0.000148071073642675×6371000²
    0.000383489999999986×0.000148071073642675×40589641000000     		ar = 1088378.9723374m²