Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7826 / 3184
↖ ↑ ↗
← N 73.327858°
W  8.041992°		 ← 700.95 m → N 73.327858°
W  8.020020°		 →
↑
701.13 m
↓
↑
701.13 m
↓
N 73.321553°
W  8.041992°		 ← 701.20 m →
491 543 m²		 N 73.321553°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477691650390625 y=0.194366455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477691650390625 × 214)
    floor (0.477691650390625 × 16384)
    floor (7826.5)     		tx = 7826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194366455078125 × 214)
    floor (0.194366455078125 × 16384)
    floor (3184.5)     		ty = 3184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7826 / 3184 ti = "14/7826/3184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7826/3184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7826 ÷ 214
    7826 ÷ 16384     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3184 ÷ 214
    3184 ÷ 16384     		y = 0.1943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1943359375 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92054394637793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92054394637793))-π/2
    2×atan(6.82466971421174)-π/2
    2×1.42530444201577-π/2
    2.85060888403154-1.57079632675     		φ = 1.27981256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27981256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.327858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7826 KachelY 3184 -0.14035924 1.27981256 -8.041992 73.327858
    Oben rechts KachelX + 1 7827 KachelY 3184 -0.13997575 1.27981256 -8.020020 73.327858
    Unten links KachelX 7826 KachelY + 1 3185 -0.14035924 1.27970251 -8.041992 73.321553
    Unten rechts KachelX + 1 7827 KachelY + 1 3185 -0.13997575 1.27970251 -8.020020 73.321553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27981256-1.27970251) × R
    0.000110050000000195 × 6371000     		dl = 701.128550001241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27981256-1.27970251) × R
    0.000110050000000195 × 6371000     		dr = 701.128550001241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(1.27981256) × R
    0.000383489999999986 × 0.286894775087066 × 6371000     		do = 700.945557666418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.13997575) × cos(1.27970251) × R
    0.000383489999999986 × 0.287000197078838 × 6371000     		du = 701.203126235908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27981256)-sin(1.27970251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286894775087066-0.287000197078838)×R²
    abs(-0.13997575--0.14035924)×0.000105421991772547×R²
    0.000383489999999986×0.000105421991772547×6371000²
    0.000383489999999986×0.000105421991772547×40589641000000     		ar = 491543.237310887m²