Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7825 / 9873
↖ ↑ ↗
← S 34.615127°
W  8.063965°		 ← 2 010.79 m → S 34.615127°
W  8.041992°		 →
↑
2 010.56 m
↓
↑
2 010.56 m
↓
S 34.633208°
W  8.063965°		 ← 2 010.35 m →
4 042 364 m²		 S 34.633208°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477630615234375 y=0.602630615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477630615234375 × 214)
    floor (0.477630615234375 × 16384)
    floor (7825.5)     		tx = 7825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602630615234375 × 214)
    floor (0.602630615234375 × 16384)
    floor (9873.5)     		ty = 9873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7825 / 9873 ti = "14/7825/9873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7825/9873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7825 ÷ 214
    7825 ÷ 16384     		x = 0.47760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9873 ÷ 214
    9873 ÷ 16384     		y = 0.60260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.644655426090515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14074274} λ = -0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644655426090515))-π/2
    2×atan(0.524843358280366)-π/2
    2×0.48332419759435-π/2
    0.9666483951887-1.57079632675     		φ = -0.60414793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60414793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.615127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7825 KachelY 9873 -0.14074274 -0.60414793 -8.063965 -34.615127
    Oben rechts KachelX + 1 7826 KachelY 9873 -0.14035924 -0.60414793 -8.041992 -34.615127
    Unten links KachelX 7825 KachelY + 1 9874 -0.14074274 -0.60446351 -8.063965 -34.633208
    Unten rechts KachelX + 1 7826 KachelY + 1 9874 -0.14035924 -0.60446351 -8.041992 -34.633208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60414793--0.60446351) × R
    0.000315579999999982 × 6371000     		dl = 2010.56017999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60414793--0.60446351) × R
    0.000315579999999982 × 6371000     		dr = 2010.56017999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14074274--0.14035924) × cos(-0.60414793) × R
    0.000383500000000009 × 0.822986424098237 × 6371000     		do = 2010.78503579115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14074274--0.14035924) × cos(-0.60446351) × R
    0.000383500000000009 × 0.822807114417136 × 6371000     		du = 2010.34693230247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60414793)-sin(-0.60446351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822986424098237-0.822807114417136)×R²
    abs(-0.14035924--0.14074274)×0.000179309681101469×R²
    0.000383500000000009×0.000179309681101469×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179309681101469×40589641000000     		ar = 4042363.94033544m²