Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7825 / 9553
↖ ↑ ↗
← S 28.632747°
W  8.063965°		 ← 2 144.49 m → S 28.632747°
W  8.041992°		 →
↑
2 144.22 m
↓
↑
2 144.22 m
↓
S 28.652031°
W  8.063965°		 ← 2 144.09 m →
4 597 840 m²		 S 28.652031°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477630615234375 y=0.583099365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477630615234375 × 214)
    floor (0.477630615234375 × 16384)
    floor (7825.5)     		tx = 7825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583099365234375 × 214)
    floor (0.583099365234375 × 16384)
    floor (9553.5)     		ty = 9553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7825 / 9553 ti = "14/7825/9553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7825/9553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7825 ÷ 214
    7825 ÷ 16384     		x = 0.47760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9553 ÷ 214
    9553 ÷ 16384     		y = 0.58306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58306884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1661376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.521936963063171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14074274} λ = -0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521936963063171))-π/2
    2×atan(0.593370098177547)-π/2
    2×0.535530310635816-π/2
    1.07106062127163-1.57079632675     		φ = -0.49973571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49973571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.632747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7825 KachelY 9553 -0.14074274 -0.49973571 -8.063965 -28.632747
    Oben rechts KachelX + 1 7826 KachelY 9553 -0.14035924 -0.49973571 -8.041992 -28.632747
    Unten links KachelX 7825 KachelY + 1 9554 -0.14074274 -0.50007227 -8.063965 -28.652031
    Unten rechts KachelX + 1 7826 KachelY + 1 9554 -0.14035924 -0.50007227 -8.041992 -28.652031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49973571--0.50007227) × R
    0.000336559999999986 × 6371000     		dl = 2144.22375999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49973571--0.50007227) × R
    0.000336559999999986 × 6371000     		dr = 2144.22375999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14074274--0.14035924) × cos(-0.49973571) × R
    0.000383500000000009 × 0.877709238615274 × 6371000     		do = 2144.48811196012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14074274--0.14035924) × cos(-0.50007227) × R
    0.000383500000000009 × 0.877547911514942 × 6371000     		du = 2144.09394492441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49973571)-sin(-0.50007227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877709238615274-0.877547911514942)×R²
    abs(-0.14035924--0.14074274)×0.00016132710033212×R²
    0.000383500000000009×0.00016132710033212×6371000²
    0.000383500000000009×0.00016132710033212×40589641000000     		ar = 4597839.81494107m²