Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7825 / 4943
↖ ↑ ↗
← N 57.903174°
W  8.063965°		 ← 1 298.24 m → N 57.903174°
W  8.041992°		 →
↑
1 298.41 m
↓
↑
1 298.41 m
↓
N 57.891497°
W  8.063965°		 ← 1 298.66 m →
1 685 921 m²		 N 57.891497°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477630615234375 y=0.301727294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477630615234375 × 214)
    floor (0.477630615234375 × 16384)
    floor (7825.5)     		tx = 7825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301727294921875 × 214)
    floor (0.301727294921875 × 16384)
    floor (4943.5)     		ty = 4943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7825 / 4943 ti = "14/7825/4943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7825/4943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7825 ÷ 214
    7825 ÷ 16384     		x = 0.47760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4943 ÷ 214
    4943 ÷ 16384     		y = 0.30169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30169677734375 × 2 - 1) × π
    0.3966064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2459758949245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14074274} λ = -0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2459758949245))-π/2
    2×atan(3.47632567307974)-π/2
    2×1.29069868419817-π/2
    2.58139736839633-1.57079632675     		φ = 1.01060104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01060104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.903174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7825 KachelY 4943 -0.14074274 1.01060104 -8.063965 57.903174
    Oben rechts KachelX + 1 7826 KachelY 4943 -0.14035924 1.01060104 -8.041992 57.903174
    Unten links KachelX 7825 KachelY + 1 4944 -0.14074274 1.01039724 -8.063965 57.891497
    Unten rechts KachelX + 1 7826 KachelY + 1 4944 -0.14035924 1.01039724 -8.041992 57.891497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01060104-1.01039724) × R
    0.000203799999999976 × 6371000     		dl = 1298.40979999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01060104-1.01039724) × R
    0.000203799999999976 × 6371000     		dr = 1298.40979999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14074274--0.14035924) × cos(1.01060104) × R
    0.000383500000000009 × 0.531351645526015 × 6371000     		do = 1298.24005145336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14074274--0.14035924) × cos(1.01039724) × R
    0.000383500000000009 × 0.531524283937538 × 6371000     		du = 1298.66185517251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01060104)-sin(1.01039724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531351645526015-0.531524283937538)×R²
    abs(-0.14035924--0.14074274)×0.000172638411522485×R²
    0.000383500000000009×0.000172638411522485×6371000²
    0.000383500000000009×0.000172638411522485×40589641000000     		ar = 1685921.44843497m²