Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7823 / 9555
↖ ↑ ↗
← S 28.671311°
W  8.107910°		 ← 2 143.70 m → S 28.671311°
W  8.085937°		 →
↑
2 143.46 m
↓
↑
2 143.46 m
↓
S 28.690588°
W  8.107910°		 ← 2 143.31 m →
4 594 510 m²		 S 28.690588°
W  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477508544921875 y=0.583221435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477508544921875 × 214)
    floor (0.477508544921875 × 16384)
    floor (7823.5)     		tx = 7823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583221435546875 × 214)
    floor (0.583221435546875 × 16384)
    floor (9555.5)     		ty = 9555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7823 / 9555 ti = "14/7823/9555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7823/9555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7823 ÷ 214
    7823 ÷ 16384     		x = 0.47747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9555 ÷ 214
    9555 ÷ 16384     		y = 0.58319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14150973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.522703953457092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14150973} λ = -0.14150973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522703953457092))-π/2
    2×atan(0.592915163499771)-π/2
    2×0.535193775231447-π/2
    1.07038755046289-1.57079632675     		φ = -0.50040878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14150973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50040878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.671311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7823 KachelY 9555 -0.14150973 -0.50040878 -8.107910 -28.671311
    Oben rechts KachelX + 1 7824 KachelY 9555 -0.14112623 -0.50040878 -8.085937 -28.671311
    Unten links KachelX 7823 KachelY + 1 9556 -0.14150973 -0.50074522 -8.107910 -28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 7824 KachelY + 1 9556 -0.14112623 -0.50074522 -8.085937 -28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50040878--0.50074522) × R
    0.000336439999999993 × 6371000     		dl = 2143.45923999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50040878--0.50074522) × R
    0.000336439999999993 × 6371000     		dr = 2143.45923999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14150973--0.14112623) × cos(-0.50040878) × R
    0.000383500000000009 × 0.877386509001661 × 6371000     		do = 2143.69959363386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14150973--0.14112623) × cos(-0.50074522) × R
    0.000383500000000009 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 2143.30508170071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50040878)-sin(-0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877386509001661-0.877225040739587)×R²
    abs(-0.14112623--0.14150973)×0.00016146826207375×R²
    0.000383500000000009×0.00016146826207375×6371000²
    0.000383500000000009×0.00016146826207375×40589641000000     		ar = 4594509.93497263m²